*Недвоичная логика

[Солохин]

Логический прикол (для интеллектуалов).

Перед нами короткий список из двух утверждений:

(1) Единорог существует.
(2) Оба утверждения в этом списке ложны.

Рассмотрим сначала утверждение (2). Если бы оно было истинно, то оба утверждения были бы ложны. В частности, было бы ложно утверждение (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (2) ложно. Значит, не верно, что оба утверждения ложны, поэтому по крайней мере одно из них истинно. Так как утверждение (2) не истинно, то истинно должно быть утверждение (1). Следовательно, Единорог существует.

[Upliner]

Да, без троичной логики далеко не уедешь

[Солохин]

К слову, её зря называют "троичной". Если отменить закон исключенного третьего, то на место двух логических значений (истина/ложь) немедленно являются не три, а бесконечно много "полутонов", промежуточных между истиной и ложью. Счётное множество!

[antic]

Перед нами короткий список из двух утверждений:

Избыточность, однако. Для создания парадокса можно обойтись и одним утверждением:
Это утверждение ложно

[Lodur]

Для создания парадокса можно обойтись и одним утверждением:
Это утверждение ложно

Не считая того, что оно ни о чём. Поэтому-то и понадобился единорог - хоть какая-то информация.

[Upliner]

А кто-нибудь может привести пример системы утверждений, неразрешимой в рамках троичной логики (истно, ложно, противоречиво), для которой нужно вводить ещё более точные "полутона"?

[Солохин]

Для создания парадокса можно обойтись и одним утверждением:
Это утверждение ложно

Не считая того, что оно ни о чём. Поэтому-то и понадобился единорог - хоть какая-то информация.

Да, именно так.
Само по себе наличие утверждений, которые не могут быть ни истинными, ни ложными - это удивительно, но воспринимается как какая-то экзотика, не имеющая отношения к реальности.
А вот когда из подобных утверждений начинают вылезать конкретные единороги - тут думающие люди всерьез хватаются за голову (или за сердце - если кто глубоко чувствует математику). С этим что-то надо делать!

[Солохин]

А кто-нибудь может привести пример системы утверждений, неразрешимой в рамках троичной логики (истинно, ложно, противоречиво), для которой нужно вводить ещё более точные "полутона"?

Слово "противоречивы" мне кажется неудачным. "Третий вариант" - это утверждения, которые не являются НИ истинными, НИ ложными. Конечно же, не бывает утверждений И истинных, И ложных одновременно. "Противоречие" - это заведомо ложь.
Потому переформулирую Ваш вопрос так:
кто-нибудь может привести пример системы утверждений, неразрешимой в рамках троичной логики (истинно, ложно, неопределенно), для которой нужно вводить ещё более точные "полутона"?

Достаточно всего одного предложения.

"Данное утверждение или ложно, или же неопределенно"

Итак, допустим, что всякое утверждение либо истинно, либо ложно, либо неопределенно. "Четвёртого не дано"

Рассмотрим же все три варианта.

Если оно истинно, то (поскольку оно не может быть при этом ни ложным, ни неопределенным) то оно лжет само на себя. Противоречие. Значит, оно не истинно.

Если оно ложно, то оно неправду о себе говорит, а значит, оно оно обязано быть истинным (ведь мы исключили возможность четвертого варианта!). Опять противоречие. Значит, оно не ложно.

Однако если оно неопределенно, то выходит, что оно правду само о себе говорит (что оно неопределенно), но тогда оно истинно! Итак, оно и не неопределенно.

Все три варианта исключены!

Итак, "закон исключенного четвертого" тоже не работает, когда мы допускаем возможность авторефлексии.

Трёх мало, надо четыре. Но так же точно и четырех окажется мало, и пяти, и так далее.

[Upliner]

Трёх мало, надо четыре. Но так же точно и четырех окажется мало, и пяти, и так далее.

Так нам и счётного множества полутонов может не хватить, если просто воспользоваться формулировкой "Это утверждение не является истинным". Любое, самое ничтожное отклонение от истинности немедленно делает данное утверждение истинным, но и истинным оно быть не может.

[Upliner]

Однако если оно неопределенно, то выходит, что оно правду само о себе говорит (что оно неопределенно), но тогда оно истинно! Итак, оно и не неопределенно.

Видимо в том-то и соль, что в состоянии "неопределено" утверждение может говорить о самом себе как правду, так и ложь.

[Солохин]

в состоянии "неопределено" утверждение может говорить о самом себе как правду, так и ложь

Нет, если пытаться работать на таком гуманитарном уровне, то никакой логики вообще не получится. Либо истина, либо ложь, либо неопределенность-1, либо неопределенность-2 и так далее.
Неопределенность - это не просто "неизвестно, истина или ложь". Это четко: известно, что НЕ истина и в то же время НЕ ложь. Вот что такое "неопределенность".

[Upliner]

Нет, если пытаться работать на таком гуманитарном уровне, то никакой логики вообще не получится. Либо истина, либо ложь, либо неопределенность-1, либо неопределенность-2 и так далее.
Неопределенность - это не просто "неизвестно, истина или ложь". Это четко: известно, что НЕ истина и в то же время НЕ ложь. Вот что такое "неопределенность".

Как я показал выше, такой подход также никуда не ведёт, также как и обычная двоичная логика. "Неопределено" значит не "неизвестно, истина или ложь", а "от истинности данного утвеждения зависит истинно ли оно". В рамках такой логики утверждение "Это утверждение не является истинным" является таким же неопределённым как и "Данное утверждение ложно".

[Солохин]

"Данное утверждение не является истинным"

Если предположить, что данное утверждение истинно, то исходя из него же оно НЕ истинно. Это противоречие.
Если предположить, что оно ложно, то оно НЕ неистинно. А дальнейшая логика зависит от того, допускаем ли мы неопределенность.

Если неопределенность недопустима, то НЕНЕистинность означает истинность, и тогда имеем противоречие. Значит, оно не ложно. Но в таком случае оно не истинно и не ложно, что невозможно, если неопределенность недопустима. Значит неопределенность не может быть недопустима.

Если же неопределенность допустима, то данное утверждение само по себе приобретает все новые оттенки смысла в зависимости от того, сколько различных типов неопределенности мы допускаем. Если лишь один - то появится нужда во втором (я это доказал выше). Если два - то появится нужда в третьем (проверить самостоятельно ) и так далее.

[Солохин]

такой подход также никуда не ведёт

Какой из них? В зависимости от этого Ваши дальнейшие слова могут быть по-разному истолкованы.

[Upliner]

такой подход также никуда не ведёт

Какой из них? В зависимости от этого Ваши дальнейшие слова могут быть по-разному истолкованы.

Подход введения различных видов неопределённости без пересмотра всей системы.

[Солохин]

Подход введения различных видов неопределённости без пересмотра всей системы.

Не согласен.
Нет нужды пересматривать всю систему логики. Достаточно устранить из неё одну-единственную аксиому (всякое утверждение либо истинно, либо ложно) и все следствия этой аксиомы (например, ненеистинность означает истинность).

[Upliner]

Подход введения различных видов неопределённости без пересмотра всей системы.

Не согласен.
Нет нужды пересматривать всю систему логики. Достаточно устранить из неё одну-единственную аксиому (всякое утверждение либо истинно, либо ложно) и все следствия этой аксиомы (например, ненеистинность означает истинность).

Как же нет нужды, если даже убрав эти аксиомы мы не можем определить, на сколько процентов истинно утверждение "Это утверждение не является истинным"? Сколько неопределённостей ни вводи, ответа не будет. А если пересмотреть систему и ввести одну единственную неопределённость -- то ответ сразу найдётся.

[Солохин]

мы не можем определить, на сколько процентов истинно утверждение

Гоп-стоп. Это что ещё за проценты?
Это Вы ввели какую-то новую концепцию! До сих пор никому из математиков и в голову не приходило мерять это в процентах. По крайней мере, они делают вид, что не приходило.
На самом деле, конечно, приходило. Люди тихо прикинули, убедились, что идея неважная, и притворились, будто и в голову не приходило.

[Солохин]

если пересмотреть систему и ввести одну единственную неопределённость -- то ответ сразу найдётся.

Флаг в руку, бронепоезд навстречу.
Попробуйте предложить такую систему - а я докажу её несостоятельность.

[Upliner]

Кардинально ничего пересматривать не нужео, достаточно убрать аксиому "если утверждение говорит о самом себе правду, то оно является истинным", заменив её на "если утверждение говорит о самом себе правду, оно не является ложным". Давайте, доказывайте несостоятельность.

[Upliner]

мы не можем определить, на сколько процентов истинно утверждение

Гоп-стоп. Это что ещё за проценты?
Это Вы ввели какую-то новую концепцию! До сих пор никому из математиков и в голову не приходило мерять это в процентах. По крайней мере, они делают вид, что не приходило.
На самом деле, конечно, приходило. Люди тихо прикинули, убедились, что идея неважная, и притворились, будто и в голову не приходило.

Проценты -- из ваших "полутонов" и "счётного множества неопределённостей". Вы так и не ответили на вопрос, какой вид неопределённости у того утверждения. Или оно истино? Или ложно?

[Солохин]

достаточно убрать аксиому "если утверждение говорит о самом себе правду, то оно является истинным"

Этого никто никогда не утверждал. Ведь оно может помимо верного мнения о самом себе содержать и какие-то ложные утверждения.

[Upliner]

достаточно убрать аксиому "если утверждение говорит о самом себе правду, то оно является истинным"

Этого никто никогда не утверждал. Ведь оно может помимо верного мнения о самом себе содержать и какие-то ложные утверждения.

Значит, у вас ошибка в доказательстве в этом месте:

Однако если оно неопределенно, то выходит, что оно правду само о себе говорит (что оно неопределенно), но тогда оно истинно! Итак, оно и не неопределенно.

[Upliner]

Над аксиоматикой надо конечно подумать. Можно ввести аксиому "Утверждение неопределено в том и только в том случае, если доказано, что оно не может быть ни истиным, ни ложным". Но тогда получится, что в изначальном приколе второе утверждение неопределено только в том случае, если доказано, что единорог не существует. Есть конечно над чем ещё подумать

[Солохин]

Проценты -- из ваших "полутонов" и "счётного множества неопределённостей".

Виноват. Эти мои слова не более чем метафоры.
На самом же деле все утверждения, насколько я помню, делятся на "классы эквивалентности", и вот каким образом.

Два утверждения А и В относятся к одному классу, если А вытекает В, а из В вытекает А.

В случае бинарной логики (либо истина, либо ложь). Из истинных выводятся только истинные, из ложных - и ложные, и истинные. (Общепризнанная аксиома: из лжи вытекает что угодно!) Таким образом, у нас получается всего два класса утверждений: истинные выводятся друг из друга, ложные выводятся друг из друга.

Если мы снимаем закон исключенного третьего, то у нас получается целая цепочка классов. "Цепочка" - потому что их можно упорядочить по некоему признаку "силы". Из утверждений каждого типа выводятся как "более слабые", так и "одноранговые сильные".  При этом ложь - это класс "самых сильных" утверждений, из которых выводится что угодно. А истина - это класс "самых слабых" утверждений, из которых выводятся только одноранговые к ним, и более ничего.

Вы так и не ответили на вопрос, какой вид неопределённости у того утверждения. Или оно истино? Или ложно?

Утверждение, которое утверждает, что оно не является истинным - относится к классу самых слабых среди всех не истинных утверждений. То есть, оно стоит максимально близко к истине, однако истиной уже не является. Слабее его только Сама Истина.

Утверждение, которое утверждает, что оно ложно, относится к классу самых сильных из всех неложных утверждений. Сильнее его только Сама Ложь.

Гуманитарное замечание:
Почему истина оказалась у нас слабее лжи и слабее всего на свете? потому что истина - самая хрупкая вещь. Она держится только помощью Божьей. Убери Бога - и мир погрузится во тьму, в которой не останется места Истине, и будет всецело торжествовать Ложь. Истине нечем гордиться, она держится лишь чудом. "На ладан дышит"
Почему ложь у нас сильнее всего на свете? потому что она существует (существует, конечно, не как сущность или акциденция, но лишь как тропос!) вопреки воле Самого Бога. Это ведь круто - существовать (хотя бы и на птичьих правах!) вопреки воле Бога! Лжи есть чем гордиться.