Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка

Автор Солохин, января 29, 2016, 20:18

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Солохин

(n5 − n) кратно 240 для любого нечетного n.

Случайно обнаружил этот удивительный факт.
Не перестаю изумляться таким вещам.
В математике более чем где бы то ни было ощущается гармония сфер. А в теории чисел — особенно!
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

_Swetlana

Задумалась, как доказать, что (n-1)n(n+1) делится на 3, но думала недолго  ;D и нагуглила
решение без доказательств
читер я  :'(
ЗЫ. ещё с делимостью на 5 надо доказать.
🐇

Солохин

Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

_Swetlana

можно и без Ферма
(n-1)n(n+1) не кратно 5, только если n=5κ+2 или n=5k+3. В обоих случаях n2+1 кратно 5, что проверяется непосредственно.
5k+2:  25k2+20k+5. Второй случай: 25k2+30k+10.
🐇

Солохин

Согласен!

Тогда - обобщение:

ОБОБЩЕНИЕ: Если n нечётное, а s простое число, то (ns - n) делится без остатка на 24s. ;)
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.


Солохин

...Кроме одного случая...
s=3 почему-то выпадает из общего ряда.

(n3 - n) делится только на 24 :(

Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

_Swetlana

эмм... а как собираетесь использовать простоту?
(вот этим сервисом буду пользоваться :)
http://www.codecogs.com/eqneditor )

Если [tex]s[/tex] - нечётное, то [tex]s-1[/tex] - чётное,
т.е. имеем для многочлена [tex]n^{2m}-1[/tex] два действ. корня [tex]\pm 1[/tex]
и разложение на множители
[tex]n(n^{2m}-1)=(n-1)n(n+1)\prod_{k=1}^{m-1}(n^{2}-2ncos\frac{\pi k}{m}+1)[/tex].
Надо, чтобы в одном сомножителе косинус обратился в 0 и получим делимость на 5 и на 240 как в 9 классе в предыдущей задаче.
А куда простое [tex]s[/tex] встромить?   :what:
🐇

_Swetlana

что-то я нетоё про эти косинусы сказала, кто во что обратится
попозже ещё подумаю
🐇

Солохин

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44
А куда простое [tex]s[/tex] встромить?
А это требование Малой теоремы Ферма. Из неё непосредственно вытекает, что для простого s
ms-m кратно s
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

smith371

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44
эмм... а как собираетесь использовать простоту?
(вот этим сервисом буду пользоваться :)
http://www.codecogs.com/eqneditor )

Если [tex]s[/tex] - нечётное, то [tex]s-1[/tex] - чётное,
т.е. имеем для многочлена [tex]n^{2m}-1[/tex] два действ. корня [tex]\pm 1[/tex]
и разложение на множители
[tex]n(n^{2m}-1)=(n-1)n(n+1)\prod_{k=1}^{m-1}(n^{2}-2ncos\frac{\pi k}{m}+1)[/tex].
Надо, чтобы в одном сомножителе косинус обратился в 0 и получим делимость на 5 и на 240 как в 9 классе в предыдущей задаче.
А куда простое [tex]s[/tex] встромить?   :what:

Offtop
какая же ты у нас умная! :-[ := ;up:
Alii! Ke ua ngerang? Ak outkeu er kau el me er a bliongel el kirel a tekoi er a Belau! Sulang.

Подвергал, подвергаю и буду подвергать сомнению классификацию любых языков, описания которых нет в свободном доступе!

Злостный оверквотер, оверкиллер и... просто злостный.

_Swetlana

Да, посмотрела её формулировку, наконец  ;D
Солохин, похоже у вас всё правильно, а при s=3 действительно не проходит.
С s разобрались, а делимость на 24 можно доказать без фокусов с косинусами:
[tex]n(n^{2m}-1)=n(n^{m}-1)(n^{m}+1)[/tex]
Если [tex]n[/tex] не делится на [tex]3[/tex], то надо рассмотреть остатки [tex]\pm 1[/tex]... глядишь и получится  ;D
🐇

_Swetlana

Цитата: smith371 от января 30, 2016, 20:42
Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44
эмм... а как собираетесь использовать простоту?
(вот этим сервисом буду пользоваться :)
http://www.codecogs.com/eqneditor )

Если [tex]s[/tex] - нечётное, то [tex]s-1[/tex] - чётное,
т.е. имеем для многочлена [tex]n^{2m}-1[/tex] два действ. корня [tex]\pm 1[/tex]
и разложение на множители
[tex]n(n^{2m}-1)=(n-1)n(n+1)\prod_{k=1}^{m-1}(n^{2}-2ncos\frac{\pi k}{m}+1)[/tex].
Надо, чтобы в одном сомножителе косинус обратился в 0 и получим делимость на 5 и на 240 как в 9 классе в предыдущей задаче.
А куда простое [tex]s[/tex] встромить?   :what:

Offtop
какая же ты у нас умная! :-[ := ;up:
глупость написала, ага  :-[
Чем больше громоздких формул, тем легче сделать умное лицо хорошую мину при плохой игре   :green:
🐇

_Swetlana

Offtop
Малыш Смитти меня с мысли сбил

Таки у нас есть два корня, +1 и -1, поэтому исходный многочлен представляется в виде (n-1)*n*(n+1)*P(s-3), откуда следует делимость на 24. Поскольку s - простое, оно не имеет с 24 общих делителей; делимость на s можно рассматривать независимо.
Всё. Солохину - гип-гип-ура  :green:
🐇

_Swetlana

P.S. s=3 - единственное простое (отличное от 1), которое является общим делителем с 24. Т.е. на 3 делится и по м. т. Ферма, и потому что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Поэтому 24, а не 24s.
🐇

Солохин

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 22:29
Таки у нас есть два корня, +1 и -1, поэтому исходный многочлен представляется в виде (n-1)*n*(n+1)*P(s-3), откуда следует делимость на 24. Поскольку s - простое, оно не имеет с 24 общих делителей; делимость на s можно рассматривать независимо.
P.S. s=3 - единственное простое (отличное от 1), которое является общим делителем с 24. Т.е. на 3 делится и по м. т. Ферма, и потому что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Поэтому 24, а не 24s.
Браво! коротко и ясно!

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 22:29Солохину - гип-гип-ура
:-[


Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.


_Swetlana

Новый естественно-научный портал образовался. 
Вот задача. Решение будет опубликовано через 3 дня.
Уравнение [tex]x^{5} + y^{5} + z^{5}=a[/tex]  не имеет решений в целых числах при [tex]a=81, 82, 83, 84.[/tex]

e-science11.ru
🐇

_Swetlana

К условию предыдущей задачи: одно или два из чисел x, y, z могут быть отрицательными. Кстати при a=0 (и запрете любой неизвестной равняться 0) это равносильно теореме Ферма.
🐇

Bhudh

Цитата: _Swetlana от февраля  1, 2016, 20:13К условию предыдущей задачи: одно или два из чисел x, y, z могут быть отрицательными.
Это очевидно же.
[tex]2^5+2^5+1^5 = 65[/tex], а
[tex]2^5+2^5+2^5[/tex] уже сразу [tex]96[/tex].
Без отрицательных никак.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

_Swetlana

Цитата: Bhudh от февраля  1, 2016, 21:07
Цитата: _Swetlana от февраля  1, 2016, 20:13К условию предыдущей задачи: одно или два из чисел x, y, z могут быть отрицательными.
Это очевидно же.
[tex]2^5+2^5+1^5 = 65[/tex], а
[tex]2^5+2^5+2^5[/tex] уже сразу [tex]96[/tex].
Без отрицательных никак.
И с отрицательными не имеет.
ЦитироватьКстати при a=0 (и запрете любой неизвестной равняться 0) это равносильно теореме Ферма.
:)
🐇

Bhudh

Цитата: _Swetlana от февраля  1, 2016, 21:10И с отрицательными не имеет.
Я писал не о наличии корней (в условии прямым текстом написано, что их нет), а о хотя бы какой-то приближенности значения к интервалу (80; 85).
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

_Swetlana

Цитата: Bhudh от февраля  1, 2016, 21:19
Цитата: _Swetlana от февраля  1, 2016, 21:10И с отрицательными не имеет.
Я писал не о наличии корней (в условии прямым текстом написано, что их нет), а о хотя бы какой-то приближенности значения к интервалу (80; 85).
Докажите.
🐇

Bhudh

Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

_Swetlana

 Бхудх, зайдите в оригинальную тему по ссылке в сабжевом посте. А то взаимонедопонимание возникло  :yes:
🐇

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр