*Недемографические задачи

[procyone]

Решайте.

Скучно. Нет эвристики.
Я думал, эта Ваша задача - тоже на остроумие.

Это разминка.

[procyone]

Решайте.

Скучно. Нет эвристики.

Здесь есть эвристика. Задачка на вступительном экзамене. Доказать неравенство х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 > 0  для всех x > 0 .

[Солохин]

Без x^6 это выражение распадается на (x^3 - 1) и (x^9 - 1), а (x^9 - 1) разлагается как разность кубов (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1), потому (x^3 - 1) удваивается:

х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = x^6 + (x^3 - 1)(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)

Но (x^3 - 1)^2 всегда положительно.

Имеем выражение, состоящее при x>0 из положительных чисел, умножения и сложения. Оно, конечно, всегда положительно.

[Солохин]

Кстати, эвристики я не заметил.

Наверное, есть какое-нибудь более изящное решение, без алгебраических преобразований?

[procyone]

Без x^6 это выражение распадается на (x^3 - 1) и (x^9 - 1), а (x^9 - 1) разлагается как разность кубов (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1), потому (x^3 - 1) удваивается:

х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = x^6 + (x^3 - 1)(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)

Но (x^3 - 1)^2 всегда положительно.

Имеем выражение, состоящее при x>0 из положительных чисел, умножения и сложения. Оно, конечно, всегда положительно.

Решение правильное.

Я решил задачу так.

х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = ((x^6-x^3) +1)^2 + (x^3)*(x^3-1)^2 > 0 .  Имеем уравнение в форме a^2+х^3*c^2 > 0  а^2 > 0 и c^2 > 0 для всех действительных чисел a и c. Ну и x^3 >0 для x >0

---

Меня один знакомый уверял, что не смог решить на экзамене эту задачку, а потом вместе с помощником написали доказательство больше чем на страницу. Видимо искали локальный минимум функции. Там нахождение одного из корней действительно не простое.

[Солохин]

один знакомый уверял, что не смог решить на экзамене эту задачку, а потом вместе с помощником написали доказательство больше чем на страницу

Ну, согласен. Раз не все умные люди находят простое решение, значит, эвристика таки есть.
Может быть, дело в том, что я в своей жизни нарешал слишком много задач такого типа и уже "набил руку", так что персонально для меня это уже не эвристика, а простой перебор нескольких стандартных приемов - какой-нибудь из них как правило сработает. А "эвристика" - это всё-таки когда приходится выдумывать принципиально новый приём.

В этой задаче я сразу начал комбинировать члены многочлена так и эдак и примерно с третьей попытки добился нужного вида - чтобы всё было положительно.
В сущности, простой механический перебор. "Решение путем подбора"

Но все-таки было приятно вспомнить молодость, спасибо.

[procyone]

один знакомый уверял, что не смог решить на экзамене эту задачку, а потом вместе с помощником написали доказательство больше чем на страницу

Ну, согласен. Раз не все умные люди находят простое решение, значит, эвристика таки есть.
Может быть, дело в том, что я в своей жизни нарешал слишком много задач такого типа и уже "набил руку", так что персонально для меня это уже не эвристика, а простой перебор нескольких стандартных приемов - какой-нибудь из них как правило сработает. А "эвристика" - это всё-таки когда приходится выдумывать принципиально новый приём.

В этой задаче я сразу начал комбинировать члены многочлена так и эдак и примерно с третьей попытки добился нужного вида - чтобы всё было положительно.
В сущности, простой механический перебор. "Решение путем подбора"

Но все-таки было приятно вспомнить молодость, спасибо.

Сложную задачу головоломку из материала знакомого всем  со школы не так и просто найти. Можно в задачниках поискать.  Я давно головоломки не решаю. Я могу сложные задачки предложить, но они будут для форума математиков. Например, элегантное простое доказательство формулы Стирлинга совсем не просто найти.
(wiki/ru) Формула_Стирлинга

[Солохин]

Например, элегантное простое доказательство формулы Стирлинга совсем не просто найти.
(wiki/ru) Формула_Стирлинга

Ой, я пас. Это уже не мой калибр.
Я всё-таки физик (хотя и теоретик), а не математик.

[Солохин]

Фантастика!

Мне вдруг пришло в голову другое решение той же задачи - вообще безумно красивое.

Оказывается,

х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = (x^15 + 1)/(x^3 + 1)



Теперь я удивляюсь, как я этого сразу не заметил.

Ведь х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 - это сумма геометрической прогрессии с коэффициентом  -x^3.

[procyone]

Действительно красивое решение. 

[Yitzik]

Шикарно. Моего старшего в их физмате (10 класс, чо) тоже такой чепухой травят, моего ума частенько не хватает. С геометрической прогрессией круто решили!

[procyone]

Можно решить с использованием знакопеременного ряда. По сути тоже самое решение, но менее красивое чем с преминением геометрической прогрессии.





А если усложнить задачку и доказать неравеноство для любого действительного числа х, а не x >0? 

[procyone]

А если усложнить задачку и доказать неравеноство для любого действительного числа х, а не x >0? 

Для решения применяем классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим



-------


х^12  + x^6  + 1 >= 3х^6; и
x^9+x^3 >= 2x^6
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1  >= x^6
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1  >=  0 , потому что для любого действительного  x , x^6 > = 0.
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1  > 0, где  x > 1 и x < 1
Подставляем x = 1 в неравенство и получаем P(1) = 1 > 0
Значит х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1  > 0 для любого действительного x