слепнуть

[Tys Pats]

Какую этимологию имеет это слово?

В старлинге не нашёл, в wiktionary - тоже. 

Шлёпнуть однокоренное сo слепнуть?

[Tys Pats]

Слабнуть?

[Ion Borș]

Шлёпнуть однокоренное сo слепнуть?

нет,
слово шлёпнуть имеет своё этимологическое алиби, которое невозможно применить и для слово слепнуть.

Слепой
Происходит от праслав. *slěpъ, от кот. в числе прочего произошли: др.-русск., ст.-слав. слѣпъ (др.-греч. τυφλός), русск. слепой, укр. сліпи́й, белор. слепы́, болг. сляп, сербохорв. сли̏jеп, слиjѐпа, сли̏jепо, словенск. slẹ̀p, slẹ́pa, чешск., словацк. slepý, польск. ślеру, в.-луж. slеру, н.-луж. slěpy. Др. ступень чередования: ст.-слав. осльпнѫти ἀποτυφλοῦσθαι (Супр.), др.-чешск. оsľnúti «ослепнуть», чешск. oslnout. Наличие аблаута гарантирует исконнослав. происхождение, хотя родство с лит. slė̃pti, slepiù, slėpiaũ «скрывать, прятать», slaptà «тайник, укрытие», латышск. slèpt, slepe^t «скрывать» сомнительно.

[Bhudh]

В старлинге не нашёл, в wiktionary - тоже.

А потому, что корни выделять надо уметь. Сле[b]́[/b]пнуть — значит «становиться слепым». Отыменной глагол.

[Grantum]

Слепые глаза - "слипшиеся", воспаленные (с гноем).
Слепой, слепить, лепить, липкий... 

Топоров ("Этимол. исследования по русск. языку", I, 1960, стр. 11 и сл.) объясняет *slěpъ из *sloi̯p-: *slĭp-, восходящего к и.-е. *lеi̯р- "намазывать", откуда и лат. lippus "подслеповатый, с воспаленными глазами".