Мощность множества

[Alone Coder]

Меня с института мучает вопрос.

Как известно, множества равны по мощности, если между ними можно построить взаимно однозначное соответствие (биекцию).

Между R и R с выколотой точкой построить биекцию нельзя.

Почему же тогда вообще существует (wiki/ru) Континуум-гипотеза ?

[Тайльнемер]

Между R и R с выколотой точкой построить биекцию нельзя.

Это ложное утверждение.

Вот пример биекции между   и  :

[Alone Coder]

Ну постройте.

[GaLL]

f(x): R -> R минус число a
если (x-a) - целое неотрицательное число, то f(x) = x+1
иначе f(x) = x

[Тайльнемер]

Я добавил пример.

[Alone Coder]

Остроумно! А если выколоты все простые числа?

[Тайльнемер]

Остроумно! А если выколоты все простые числа?

Каждое натуральное число сдвигать на количество простых чисел перед ним или чё-то типа того.

Это не страшно. Однако, если я не ошибаюсь, можно придумать пример двух множеств, биекции между которыми существуют (что доказывается с помощью аксиомы выбора), но пример такой биекции фиг построишь. Вот это уже на грани добра и зла

[GaLL]

Остроумно! А если выколоты все простые числа?

Так при помощи подобного подхода легко сделать такую биекцию.

[Вадимий]

Между R и R с выколотой точкой построить биекцию нельзя.

Можно.

[Вадимий]

Однако, если я не ошибаюсь, можно придумать пример двух множеств, биекции между которыми существуют (что доказывается с помощью аксиомы выбора), но пример такой биекции фиг построишь.

Какие два множества? Как доказывается? Почему не построить пример такой биекции?