Задача на ряды

[Марбол]

Здравствуйте!

Даны два сходящихся бесконечных степенных ряда, составленных по степеням одного и того же аргумента. Могут ли они иметь одинаковую сумму и при этом различные коэффициенты при одинаковых степенях?

[Квас]

Не могут. Разложение что в ряд Тейлора, что в ряд Лорана единственно.

[Марбол]

Здравствуйте!

Положим, имеем два ряда P(x) и Q(x) с постоянными коэффициентами A_j и B_j (j = 0, 1, 2, ...), принимающие значения на числовой оси 0y. Каждому из этих рядов соответствует кривая на плоскости (x, y), и обе кривые, может быть, пересекаются друг с другом в точках X_k, k = 1, 2, ... То есть, если я не упустил ничего, два ряда с разными коэффициентами могут иметь одинаковую сумму.

[Квас]

Перенесём всё в одну сторону и предположим, что нас интересует обращение ряда в 0. Сумма ряда является аналитической функцией, которая может иметь нули, но не слишком много (теорема единственности).

[Марбол]

В смысле, счётное число нулей?

[Марбол]

Так всё-таки, я пrав или не пrав?..

[Квас]

В чём? Суммой ряда с ненулевыми коэффициентами не может быть тождественный ноль, но в отдельных точках она может обращаться в 0. Это полный ответ для рядов от одного переменного.

[Марбол]

Собственно, я пробую на досуге построить исчисление непрерывных функций наподобие дифференциального, но в котором отправной точкой построений является не выражение для приращения
Δf(x) = f(x+Δx)-f(x),
с дальнейшим разложением в степенной ряд и оценкой его коэффициентов, а выражение для величины
γf(x) = f(x+Δx)/f(x).
Например,
γx = (x+Δx)/x = 1+dx/x.
Скажем, назовем эту величину "развитием" функции f в точке x.
Так же, как в приращении выделяется линейная часть - дифференциал
df(x)=f'(x)dx,
так и в развитии, если в нем разложить члены в ряд Тейлора и отбросить дифференциалы выше первого порядка, можно выделить часть вида
qf(x) = qx^G₁(x),
где
qx = 1+dx/x.
Я условно назвал эту величину "квотиэнциалом" (quotiential) функции f в точке x.
Соответственно, функция G₁(x) - не что иное, как квотиэнциальная производная функции:
G₁(x) =Q¹_xf(x) = log_qxqf(x) = lim log_γxγf(x) при Δx -> 0+0.
Здесь Q¹_x - оператор квотиэнциальной производной, примененный однократно.
Квотиэнциальная производная первого порядка выражается через дифференциальную так:
G₁(x) = x/f(x)*D¹_xf(x).
Квотиэнциалы старших порядков имеют вид
q²f(x) = qx^qxG₂(x),
q³f(x) = qx^qxqxG₃(x),
и так далее.