Задача на построение

[Вадимий]

Первый, наверно, раз математичка не смогла ответить на оффтопный вопрос на уроке. Посему оставляю здесь, очень интересно!
Можно ли при помощи циркуля и линейки без делений начертить отрезок, который будет длиннее данного в π раз? / Можно ли при помощи циркуля и линейки без делений построить отрезок, равный длине окружности с заданным радиусом/диаметром?

[Квас]

Если бы хотя бы одна из этих задач решалась, то можно было бы построить квадратуру круга, что, как известно, невозможно.

[Тайльнемер]

Ответ: нельзя.

Эта задача близка к другой подобной задаче — «квадратуре круга» — т. е. построению квадрата по площади равного кругу заданного радиуса.
Квадратура круга невозможна, это доказывается аглебраически.

В «квадратуре круга» нам надо построить отрезок в раз длиннее данного. А квадратный корень отрезка всегда можно построить циркулем и линейкой. Поэтому если бы ваша задача имела решение, то имела бы решение и «квадратура», что неверно.
Следовательно — нельзя.

[Тайльнемер]

Квас опередил.

[Вадимий]

Спасибо! А как доказывается невозможность квадратуры круга? Впрочем, про это я почитаю в Википедии.
А как построить квадратный корень отрезка?

[Вадимий]

И да, что под квадратным корнем? Если сравниваеть длины, то там завязано на том, в чём мерять, нет?
Квадратный корень из 25 копеек — 5 копеек^0.5, а из 0.25 рублей — 0.5 рублей^0.5.

[Тайльнемер]

И да, что под квадратным корнем?

Имеется в виду, что если у нас есть отрезки с отношением длин , то мы можем построить отрезки с отношением длин . Кажется.

[Вадимий]

Каким образом?

[Вадимий]

Квадратуру круга и отрезок длиной в π заданных отрезков нельзя построить, потому что π и его корень не транс... э... не могут быть корнями уравнений с целыми коэффициентами. А как доказывается, что они не могут ими быть?

[Квас]

Спасибо! А как доказывается невозможность квадратуры круга? Впрочем, про это я почитаю в Википедии.

Это хитро. Примерно так: рассматривается поле чисел, которые можно построить, и показывается, что π туда не входит.

А как построить квадратный корень отрезка?

Нужно запастись единичным отрезком. Стандартное построенин корня: если наш отрезок AB, то достраиваем единичный BC (C вне AB), на AC строим полуокружность. Проводим перпендикулярную к AB прямую в точке B, пусть D — точка пересечения с полуокружность. Тогда BD — корень из AB. Доказывается несложно на основании свойств прямоугольных треугольников.

[Квас]

А как доказывается, что они не могут ими быть?

Это очень сложно, вообще не в курсе.

[Sudarshana]

А как построить квадратный корень отрезка?

Так у равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом x гипотенуза же √2x.

[Вадимий]

Спасибо!
К слову: Арсений мне какую-то программу рекомендовал для геометрических построений, я установил, а теперь у меня её нет. Какую можно? Хочу обдумать.

[Квас]

А как построить квадратный корень отрезка?

Так у равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом x гипотенуза же √2x.

Это не то. Вопрос как для любого x построить , а не только для 2.

[Квас]

К слову: Арсений мне какую-то программу рекомендовал для геометрических построений, я установил, а теперь у меня её нет. Какую можно? Хочу обдумать.

asymptote.sourceforge.net
Для всех математических чертежей и не только. Песня, а не программа: пишешь код, комп рисует. Уже завоёвывает позиции стандартного графического редактора в математической среде, интегрируется с ТеХом.

[Sudarshana]

Это не то. Вопрос как для любого x построить , а не только для 2.

Ага.

[Тайльнемер]

Так у равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом x гипотенуза же √2x.

Тут речь была не √2, а о корне из произвольного отношения длин.

π и его корень не могут быть корнями уравнений с целыми коэффициентами. А как доказывается, что они не могут ими быть?

У нас эта тема рассматривалась в расширенном курсе теории чисел, но я уже ничё не помню, кроме того, что это муть какая-то.