Author Topic: Интересные числа  (Read 141039 times)

0 Members and 2 Guests are viewing this topic.

Offline arseniiv

  • Posts: 14956
    • ::
« Reply #50on: June 7, 2009, 20:32 »
А если основание меньше 1, то можно, наверно, представлять числа в [0; 1], а если ввести дробную яасть, то в ней будут большие единицы. Наверно. По аналогии.

Offline Rōmānus

  • Posts: 17040
  • Gender: Male
« Reply #51on: June 7, 2009, 20:41 »
А если основание СС меньше 1?

основание не может быть меньше 1, так как следующие разряды должны больше предыдущих, кроме того у 1/q + 1/q2 + ... есть предел, так что такая система не сможет выразить произвольное число
Надежда - мать дураков (с) Литовская пословица

Offline arseniiv

  • Posts: 14956
    • ::
« Reply #52on: June 7, 2009, 20:47 »
Ну да, ну да ;)
Сопоставьте ABCD,EFG2 GFED,CBA0.5 - и все дела... (С плохими последствиями, конечно же. Например, 0,(3)10 не представить в системе с основанием 0,1.)
Т.е., ограниченную систему мы всё же составить можем.

По крайней мере, есть системы с отрицательными основаниями (кроме -1, которая исключается вместе с 0 и 1)

Offline Gerbarius

  • Posts: 254
« Reply #53on: June 7, 2009, 20:55 »
Господа, не забывайте, что системы счисления придумываются не просто так, а для представления некоторого вполне конкретного множества чисел. Например, в обычной троичной системе счисления используются ровно три цифры, так как этого достаточно, чтобы представить все целые числа (если ещё и "знак" знака добавить), меньшим числом обойтись нельзя, а большее приведёт к избыточности. Но говорить о числе цифр, которое требуется для той или иной системы счисления (например, с основанием e или π) просто бессмысленно, если вообще непонятно, зачем эта система счисления  нужна, и какие числа с её помощью можно представить.

Offline Хворост

  • Posts: 6141
  • Gender: Male
« Reply #54on: June 7, 2009, 20:59 »
Да, кстати, что было бы, если Шмель прочитал бы эту тему? :)
Когда я сажала, ливала смородину,
Она превращала мой сад в огородину.
Она превращала, рубила дрова,
На них высекая попутно слова.
arseniiv

Offline Rōmānus

  • Posts: 17040
  • Gender: Male
« Reply #55on: June 7, 2009, 20:59 »
Но говорить о числе цифр, которое требуется для той или иной системы счисления (например, с основанием e или π) просто бессмысленно, если вообще непонятно, зачем эта система счисления  нужна, и какие числа с её помощью можно представить.

1. Числа можно представить любые
2. Зачем нужна? Натуральные логарифмы зачем-то нужны ж? Значит и система с основанием "е" - очень даже ничего для определённых занятий. Посмотрите хотя бы на формулу Эйлера и всё станет понятно
Надежда - мать дураков (с) Литовская пословица

Offline arseniiv

  • Posts: 14956
    • ::
« Reply #56on: June 7, 2009, 21:00 »
Gerbarius, и я о чём. Кстати, в той упомянутой, симметричной троичной системе со цифрами 1̄, 0 и 1 не нужно использовать знак

Roman, формула Эйлера совсем не касается систем счисления

Да, кстати, что было бы, если Шмель прочитал бы эту тему? :)
Наверно, ещё один сайт, под названием cifri.ru

Offline Gerbarius

  • Posts: 254
« Reply #57on: June 7, 2009, 21:08 »
Роман, а вы можете доказать, что в вашей системе счисления с основанием e можно выразить любые числа, или дать ссылку на соотвествующий математический результат, хотя бы в виде " в таком-то году такой-то математик доказал"? Это совсем не очевидно, более того, у меня есть огромные сомнения, что это так. Приглядитесь хотя бы к упомянутой здесь системе счисления с основанием (1 + sqrt(5))/2. В ней, например, невозможно выразить все вещественные числа, и это легко доказывается.

Offline Rōmānus

  • Posts: 17040
  • Gender: Male
« Reply #58on: June 7, 2009, 21:10 »
Роман, а вы можете доказать, что в вашей системе счисления с основанием e можно выразить любые числа

Мне, кажется, это философский вопрос. Число "е" можно выразить в десятичной системе?
Надежда - мать дураков (с) Литовская пословица

Offline arseniiv

  • Posts: 14956
    • ::
« Reply #59on: June 7, 2009, 21:11 »
Нет, в ней можно. Но она не позиционная в точном смыслеЮ потому что "нормальная" позиционная с.с. должна иметь целое положительное основание, не равное 1

Offline Rōmānus

  • Posts: 17040
  • Gender: Male
« Reply #60on: June 7, 2009, 21:14 »
Нет, в ней можно.

Как же можно, если число "е" не выражается конечным числом цифр? Мы можем только аппроксимировать число "е", но выразить его - нет. Поэтому и числа такие называются иррациональные. Целая куча квадратных корней (из 2, из 3 и т.д.) - аналогично
Но она не позиционная

у вас странное определение позиционной системы
Надежда - мать дураков (с) Литовская пословица

Offline Gerbarius

  • Posts: 254
« Reply #61on: June 7, 2009, 21:46 »
Роман, а вы можете доказать, что в вашей системе счисления с основанием e можно выразить любые числа

Мне, кажется, это философский вопрос. Число "е" можно выразить в десятичной системе?
С помощью конечного числа цифр нет, но в пределе можно. Так у меня есть подозрение, что при помощи вашей системы далеко не всякое число можно аппроксимировать сколь угодно близко в отличии от десятичной системы. В общем-то это не философский вопрос, а чисто математический. На математическом языке мой вопрос можно сформулировать примерно так: Для всякого ли числа X и числа ε>0 найдётся такое число Y, представимое в e-ричной системе счисления при помощи конечного числа цифр, что |X - Y| < ε ?

Offline arseniiv

  • Posts: 14956
    • ::
« Reply #62on: June 7, 2009, 21:49 »
Ну, тогда я так буду определять признаваемые мной позиционные системы, и называт их "нормальными по-моему п.с.с." :)


Нет, в ней можно. Но она не позиционная в точном смыслеЮ потому что "нормальная" позиционная с.с. должна иметь целое положительное основание, не равное 1
Так это я не про e в 10-чной, а про e-ичную систему

Offline Квас

  • Posts: 9832
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
« Reply #63on: June 7, 2009, 22:19 »
Про системы счисления интересно! Скажите, пожалуйста, уже была ссылка на какое-нибудь математическое определение системы счисления с нецелым основанием?
Пишите письма! :)

Offline Gerbarius

  • Posts: 254
« Reply #64on: June 7, 2009, 23:03 »
Я произвёл кое-какие математические выкладки и выяснил, что Роман был прав. В e-ричной системе счисления можно на самом деле сколь угодно близко аппроксимировать любое число. Это впрочем относится и к системе "золотого сечения". Да, давненько я не брал в руки шашки...  :)

« Reply #65on: June 7, 2009, 23:12 »
Про системы счисления интересно! Скажите, пожалуйста, уже была ссылка на какое-нибудь математическое определение системы счисления с нецелым основанием?
Так они по сути ничем не отличаются от систем с целым основанием. Берётся какое-нибудь основание p и некоторое конечное множество коэффициентов. Число в этой системе счисления представляется как сумма целых степеней p, коэффициенты при степенях выбираются из заданного множества.

Offline Квас

  • Posts: 9832
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
« Reply #66on: June 7, 2009, 23:31 »
А, понятно. Интересно, что в вашем определении не предполагается, что множество коэффициентов должно иметь вид {0, 1, 2, ..., k}. Однако, насколько понимаю, для обсуждавшихся систем с основанием p > 1 множество коэффициентов имеет именно указанный вид, причём k - наибольшее натуральное натуральное число, меньшее p, что и будем предполагать в дальнейшем.

Систематические дроби (кажется, это так должно называться) - это бесконечные последовательности коэффициентов вида

a_m...a_{-1}a_0, a_1a_2...

Каждой систематической дроби ставится в соответствие действительное число

\sum_{k=-\infty}^m a_k p^k.

Вопросы:
1. Каждое ли вещественное число может быть представлено систематической дробью?
2. Единственно ли такое представление?
3. При каком условии будет выполняться единственность?

Ответ на первый вопрос положителен для любой рассматриваемой системы записи (кажется, несложно доказать в общем случае).

Ответ на второй вопрос отрицателен даже для целых p (например, в десятичной системе счисления 0,999... = 1,000...).

Для целых p ответ на третий вопрос прост: достаточно отказаться от рассмотрения дробей, оканчивающихся последовательностью девяток. Для  нецелых p этот вопрос должен иметь интересное решение. Подумаю на досуге.

Пишите письма! :)

Offline Bhudh

  • Posts: 49868
  • Gender: Male
  • aka 蝎
    • Сайты по языкознанию
« Reply #67on: June 8, 2009, 00:43 »
Quote
IamRORY
Moderator

На форуме
Сообщений: 1111
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Offline Rōmānus

  • Posts: 17040
  • Gender: Male
« Reply #68on: June 8, 2009, 00:48 »
Quote
Квас

  На форуме
Пол: 
Сообщений: 666

 :uzhos:
Надежда - мать дураков (с) Литовская пословица

Offline Karakurt

  • Posts: 18728
  • Gender: Male
« Reply #69on: June 8, 2009, 06:43 »
Нерон на форуме?
͡° ͜ʖ ͡°

Offline myst

  • Posts: 35858
« Reply #70on: June 8, 2009, 16:34 »
Нерон на форуме?
Который?

Offline Квас

  • Posts: 9832
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
« Reply #71on: June 8, 2009, 16:45 »
Quote
Квас

  На форуме
Пол: 
Сообщений: 666

 :uzhos:

Тьфу-тьфу-тьфу! :3tfu:
Пишите письма! :)

Offline arseniiv

  • Posts: 14956
    • ::
« Reply #72on: June 8, 2009, 18:14 »
У myst'а, помнится, было 6666... ;)

Offline myst

  • Posts: 35858
« Reply #73on: June 8, 2009, 22:39 »
6.06.09 :)

Offline Bhudh

  • Posts: 49868
  • Gender: Male
  • aka 蝎
    • Сайты по языкознанию
« Reply #74on: June 9, 2009, 00:50 »
9.06.09, ты хотел сказать?
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

 

With Quick-Reply you can write a post when viewing a topic without loading a new page. You can still use bulletin board code and smileys as you would in a normal post.

Note: this post will not display until it's been approved by a moderator.
Name: Email:
Verification:
Type the letters shown in the picture
Listen to the letters / Request another image
Type the letters shown in the picture:
√49 Напишите ответ строчными буквами:
«Сто одёжек, все без застёжек» — что это?: