Производные от суперпозиции функций.

[Марбол]

Здравствуйте!

Меня интересует, есть ли общая формула для производной N-го порядка от суперпозиции h функций f, g одного переменного x, т. е.: h(x) = f(g(x)). А то я сейчас пробую сам вывести, но пока неуспешно.

[RawonaM]

Если обе дифференцируемы, то по "правилу цепи" же.
h'(x) = f'(g(x))·g'(x)

[Марбол]

Понятно, что по правилу цепи; но оно рекурсивное, а мне желательно иметь формулу не рекурсивного характера.
Для сравнения: любая производная от произведения: h⁽ⁿ⁾(x) = (f(x)*g(x))⁽ⁿ⁾ - вычисляется по формуле, вполне аналогичной биному Ньютона, без знания предыдущих производных этого же произведения. Здесь астериск означает умножение.
Я даже написал программу на VBA, символьно дифференцирующую суперпозицию и произведение двух функций, но всё равно пока логики общей формулы N-ой производной не могу уловить. Думал, может, ответ уже есть в общем виде.

[Квас]

Раз формулы нет у Демидовича, её нет в природе.

[Alone Coder]

А зачем вам n-я производная? А то так и дробную захочете

[Марбол]

   Предположу, что производная вида f = F^(1/n)(x) должна вычисляться, исходя из возможности выполнить следующую замену переменной:
x -> y(x): F(x) -> G(y)
так, что
F(x) = G(y)
и
G⁽ⁿ⁾(y) == F⁽¹⁾(x).
Если такая замена возможна, то можно записать, в качестве определения:
F^(1/n)(x) == G⁽¹⁾(y).
   Например:
Пример удалён, ввиду его неверности. - Марбол

[Квас]

На дробные производные обычно выруливают через спектральную теорию, как степени операторов. Явные формулы бывают интегродифференциальные.

[Марбол]

По-моему, формула должна быть в природе; в своих выкладках я усматриваю некоторую логику, но ещё не полностью.
Всё остаётся один непонятный член.

[Bhudh]

Там же идёт разрастание сумм.
Общая формула суммы конечного ряда вырисовывается?
Ещё и показатели степеней и степеней производных гуляют от 1 до n...

[Квас]

Да ну нету формулы. Этому вопросу уже сколько лет, триста? Все формулы давно получены. Для очистки совести, конечно, можно посмотреть, например, Гурса...

[Марбол]

Хорошо: я ещё не понял, откуда именно такие коэффициенты, а не другие, но в общем, выглядит стройно. Я могу показать свои результаты пока для шести первых производных, по чему уже можно вывести обобщение. Как Вы хотите читать: в Ворде или прямо тут? Для меня это вопрос времени: в Ворде набор пойдёт медленнее; и думаю, в ТеХе ещё даже более!

[Марбол]

Общая формула суммы конечного ряда вырисовывается?

Да, она прорисовывается, не считая того, что непонятны коэффициенты.

[Квас]

Проще сфоткать! (Или в мэпле посчитать. )

[Марбол]

Я настырный.

А что, Мэпл выводит общие формулы заданных рядов?

[Марбол]

Сфотографировать как раз нечем. Давайте, я наберу прямо тут, греческими и латинскими буквами. Минут через десять, Вы сможете посмотреть.

[ИЕ]

Такую формулу можно вывести. Она должна быть родственна биному Ньютона с той разницей что здесь некоммутативный случай для g поскольку два типа возведения в степень. т. е. что то типа обобщения  (f g + g) ^ n для некоммутативного случая с разными типами умножений.

[Квас]

А что, Мэпл выводит общие формулы заданных рядов?

Вряд ли. Но первые сколько угодно производных он бы посчитал и даже, вероятно, удалось бы в удобоваримом виде их представить.

[Bhudh]

Она должна быть родственна биному Ньютона

Там коэффициенты выходят не биномиальные.

[ИЕ]

Да не проблема - для шестой производной

Она должна быть родственна биному Ньютона

Там коэффициенты выходят не биномиальные.

Естественно. Эта формула не симметричная, ибо некоммутативная. Бином Нютона коммутативен.

[Bhudh]

Это у Вас шестая для , а если взять?‥

[ИЕ]

Это у Вас шестая для , а если взять?‥

Выписывать? В пол экрана получится.

[Bhudh]

Во-во. Так что общая формула для всех уровней вложенности вряд ли получится...

[ИЕ]

Во-во. Так что общая формула для всех уровней вложенности вряд ли получится...

С помощью сумм и произведений и факториалов в коммутативном случае компактной получается. Но все таки для некоммутативного случая можно выписать, но читабельность ее будет еще та....
Наверно, поэтому этого никто и не делал.

[Bhudh]

читабельность ее будет еще та

Для компа в принципе всё равно, какая у неё читабельность.
Главное, чтобы распарсиваемость была хорошая.

[Марбол]

Это - ни в коем случае не вывод, а изложение промежуточного результата.

Вначале следует ввести ряд обозначений.

0) Даны функции f = f(y), g = g(x). Их суперпозиция - h(x) = f(g(x)).

1) Обозначим производные исходных функций:
df/dy = α,
dg/dx = u.
В дальнейшем потребуются именно они.

2) Для случая
y == g
(когда рассматривается суперпозиция функций f и g)
обозначим
D^Nh = D^N(αu) = d^N(αu)/dx^N.

3) Для случая
y == x
(рассматривается произведение функций f и g)
обозначим
δ^N(αu) = d^N(αu)/dx^N.
В этом случае известен общий вид производной N-го порядка:
δ^N(αu) = Σ^N_{( j )} C^N_j α^{( j )}u^{( N - j )}
где биномиальный коэффициент C^N_j = N!/{(N-j)!j!},
бегущий индекс j = 0, 1, ..., N.

4) Как таковая, величина δ^N(αu) не используется. Используется степенной ряд (по степеням u), коэффициенты которого равны слагаемым из δ^N(αu) соответствующего порядка:
A_N = Σ^N_{( j )} C^N_j α^{( j )}u^{( N - j )} * u ^j .
где биномиальный коэффициент C^N_j = N!/{(N-j)!j!},
бегущий индекс j = 0, 1, ..., N.
Например:
A₀ = αu,
A₁ = α'u² + αu'
A₂ = α''u³ + 2α'u'u + αu''
A₃ = α'''u⁴ + 3α''u'u² + 3α'u''u + αu'''
A₄ = α⁽⁴⁾u⁵ + 4α⁽³⁾u⁽¹⁾u³ + 6α⁽²⁾u⁽²⁾u² + 4α⁽¹⁾u⁽³⁾u + α⁽⁰⁾u⁽⁴⁾
A₅ = α⁽⁵⁾u⁶ + 5α⁽⁴⁾u⁽¹⁾u⁴ + 10α⁽³⁾u⁽²⁾u³ + 10α⁽²⁾u⁽³⁾u² + 5α⁽¹⁾u⁽⁴⁾u + α⁽⁰⁾u⁽⁵⁾
A₆ = α⁽⁶⁾u⁷ + 6α⁽⁵⁾u⁽¹⁾u⁵ + 15α⁽⁴⁾u⁽²⁾u⁴ + 20α⁽³⁾u⁽³⁾u³ + 15α⁽²⁾u⁽⁴⁾u² + 6α⁽¹⁾u⁽⁵⁾u + α⁽⁰⁾u⁽⁶⁾

5) В сумме A_N можно выделить среднюю часть, в которую не входят только самый старший и самый младший члены: например,
5α⁽⁴⁾u⁽¹⁾u⁴ + 10α⁽³⁾u⁽²⁾u³ + 10α⁽²⁾u⁽³⁾u² + 5α⁽¹⁾u⁽⁴⁾u   для  A₅.
Произведем сдвиг числовых коэффициентов на одну позицию, от младших к старшим членам:
10α⁽⁴⁾u⁽¹⁾u⁴ + 10α⁽³⁾u⁽²⁾u³ + 5α⁽²⁾u⁽³⁾u² + 1α⁽¹⁾u⁽⁴⁾u.
Также понизим степени u на единицу:
10α⁽⁴⁾u⁽¹⁾u³ + 10α⁽³⁾u⁽²⁾u² + 5α⁽²⁾u⁽³⁾u + 1α⁽¹⁾u⁽⁴⁾.
Получившуюся величину назовем мезоном N-го порядка и обозначим μ_N:
μ₅ = 10α⁽⁴⁾u⁽¹⁾u³ + 10α⁽³⁾u⁽²⁾u² + 5α⁽²⁾u⁽³⁾u + 1α⁽¹⁾u⁽⁴⁾.
Очевидно, следует принять, что
μ₁ = 0.

7) Составим также на основе мезонов следующие величины. Отбросим младший член мезона: например,
μ₄ = 6 α⁽³⁾u⁽¹⁾u³ + 4 α⁽²⁾u⁽²⁾u² [ + 1 α⁽¹⁾u⁽³⁾u ]
получим здесь
6α⁽³⁾u⁽¹⁾u² + 4α⁽²⁾u⁽²⁾u¹
понизим степень величины u на единицу:
6α⁽³⁾u⁽¹⁾u¹ + 4α⁽²⁾u⁽²⁾
Приравняем числовые коэффициенты единице:
α⁽³⁾u⁽¹⁾u¹ + α⁽²⁾u⁽²⁾
Обозначим получившуюся величину остатком и обозначим σ₄, где подстрочный индекс указывает исходный мезон.
Очевидно, следует принять, что
σ₁ = σ₂  = 0
(или нет мезона, или он имеет единственный член).

6) Теперь можно записать выражения для шести первых производных от суперпозиции функций h = f(g(x)), в принятых обозначениях:

D⁰h = αu
D¹h = A₁ + μ₁u = A₁
D²h = A₂ + μ₂u⁽⁰⁾
D³h = A₃ + 3 μ₂u⁽¹⁾ + μ₃u⁽⁰⁾
D⁴h = A₄ + 5 μ₂u⁽²⁾ + 5 μ₃u⁽¹⁾ + μ₄u⁽⁰⁾
D⁵h = A₅ + 15/2 μ₂u⁽³⁾ + 10 μ₃u⁽²⁾ + 15/2 μ₄u⁽¹⁾ + μ₅u⁽⁰⁾ + 15 σ₃ u^{(1) 2}
D⁶h = A₆ + 21/2 μ₂u⁽⁴⁾ + 35/2 μ₃u⁽³⁾ + 35/2 μ₄u⁽²⁾ + 21/2 μ₅u⁽¹⁾ + μ₆u⁽⁰⁾ + 105 σ₄ u^{(1) 2}.

Осталось неясным общее выражение для числовых коэффициентов, входящих в выражения для D^N.

Исправлены замеченные опечатки.