Нумерация с нуля

[Квас]

Он вполне может быть и нулевым, и это удобнее.

Почему удобнее?

Ноль «используется при счёте предметов» при наличии пустого множества предметов. Непустое множество может содержать 1, 2,... предметов; множество состоит из k предметов в точности тогда, когда оно равномощно множеству {1,...,k}, и всякая биекция является нумерацией элементов множества; предмет с номером i называется i-м. Объявлять по определению число k мощностью множества {0,1,...,k-1} — си-подобное извращение.

[arseniiv]

Они и не пишут обычно 'natural number'  только, например, 'positive integer' или 'nonnegative integer'.

Хм, где ж я тогда видел. Уже не помню.

По крайней мере, приведу примеры удачной нумерации с нуля:
• конечные кардинальные числа [это влечёт удобство для счёта предметов; почему-то в наивном определении забывают, что 0 предметов тоже часто встречаются в быту],
• остатки от деления,
• члены последовательностей при использовании производящих функций (хотя тут, вроде, ничто не мешает их сдвинуть),
• ряд Тейлора начинается с нулевой производной в данной точке,
• больше не помню.

[arseniiv]

Объявлять по определению число k мощностью множества {0,1,...,k-1} — си-подобное извращение.

Зачем? Число k — мощность множества k! А потом из инъективности +1 получается сразу, что {1, 2, ..., k} той же мощности.

Мне почему-то кажется, что 0 предметов встречается довольно часто...

[Квас]

По крайней мере, приведу примеры удачной нумерации с нуля:
• конечные кардинальные числа [это влечёт удобство для счёта предметов; почему-то в наивном определении забывают, что 0 предметов тоже часто встречаются в быту],

Если предметов 0, то нумеровать нечего. Если предметы уже есть, то нумерацию нормально начать с 1.

• остатки от деления,
• члены последовательностей при использовании производящих функций (хотя тут, вроде, ничто не мешает их сдвинуть),
• ряд Тейлора начинается с нулевой производной в данной точке,
• больше не помню.

Я бы сказал, что это к делу не относится. Ясное дело, что часто возникают естественные отображения множества {0,...,k} в разные множества. При обсуждении вопроса об онтологическом статусе натуральных чисел нужно как-то осмыслить математическую и языковую интуиции.

[Квас]

Объявлять по определению число k мощностью множества {0,1,...,k-1} — си-подобное извращение.

Зачем? Число k — мощность множества k! А потом из инъективности +1 получается сразу, что {1, 2, ..., k} той же мощности.

Вы числа рассматриваете как множества? Наверно, это можно делать в рамках той или иной формализации, но это противоречит интуиции.

[Квас]

А, например, дельта-функции на множестве X удобно и естественно нумеровать элементами множества X.

[arseniiv]

Если предметов 0, то нумеровать нечего. Если предметы уже есть, то нумерацию нормально начать с 1.

Так я не про нумерацию, а про количество. Что-то меня заклинило.

Когда мы упорядочиваем предметы, можно выделить последовательность множеств с минимальным элементов\м, минимальным и следующим, ..., всеми. Там, конечно, естественно называть предметы по кол-ву посчитанных до вместе с ними. [Тут я раскогерентился.]

А вот для счёта интервалов разве не естественно?

Вы числа рассматриваете как множества? Наверно, это можно делать в рамках той или иной формализации, но это противоречит интуиции.

Не знаю, я уже запутался. Раз уж мы начали связывать числа с мощностями множеств, почему же не перейти к той самой формализации.

Вообще, почему неестественно сначала ввести группу целых, а потом взять натуральные-с-нулём как минимальный моноид из них (хотя их два, ещё {0, −1, −2, −3, ...}).

Я лучше пока выйду из обсуждения, буду читать и плюсы-минусы расставлять. Не могу мнение локализовать.

[Квас]

А вот для счёта интервалов разве не естественно?

Интервалы — тоже предметы.

[arseniiv]

Но они рассматриваются всегда по отношению к каким-то другим предметам!

P. S. Я там сверху надобавлял.

[Квас]

Но они рассматриваются всегда по отношению к каким-то другим предметам!

Почему же? Рассмотрим приставленные друг к другу столы...

Вообще, почему неестественно сначала ввести группу целых, а потом взять натуральные-с-нулём как минимальный моноид из них (хотя их два, ещё {0, −1, −2, −3, ...}).

Хочешь научить ребёнка считать сразу с отрицательными числами? Для счёта предметов нужны натуральные числа, и без 0 вполне можно прожить, что люди и делали довольно долго. А отрицательные числа нужны для описания изменений, это уже совсем другая задача.

Математически проще всего вообще ввести вещественные числа рядом аксиом, а числом k назвать сумму 1+...+1 (k раз) — подразумевая, что люди умеют считать.

[Alone Coder]

Для счёта предметов нужны натуральные числа, и без 0 вполне можно прожить, что люди и делали довольно долго.

Без слова "нет" обходились?

[Квас]

Для счёта предметов нужны натуральные числа, и без 0 вполне можно прожить, что люди и делали довольно долго.

Без слова "нет" обходились?

Очевидно, отрицательную частицу изобрели куда раньше, чем число 0.

[Alone Coder]

"нет яблок" = "0 яблок". Это медицинский факт.

[arseniiv]

На самом деле, с нулём у большинства людей повальные проблемы. Так же как и с пустым множеством. Alone Coder, вы по форумам ходили?

Просто я в вопрос своё необщечеловеческое миропонимание подмешиваю, а Квас от этого удерживается.

[Alone Coder]

Alone Coder, вы по форумам ходили?

Нет. Я читаю только два форума - этот и другой.

[Bhudh]

Другой: http://orthowiki.kalan.cc/wiki/Латиница-Форум ?

[Alone Coder]

Нет, //zx.pk.ru.

[Квас]

"нет яблок" = "0 яблок". Это медицинский факт.

Это да. Но для того, чтобы ввести число 0 (рассматривая как сущность того же порядка что 12 или 100), нужен достаточно высокий уровень абстрации, которого не продемонстрировали даже древние греки (очевидно, потому, что не нужно им было).

[Квас]

"нет яблок" = "0 яблок". Это медицинский факт.

Вообще, это хороший факт.

Гагарин — нетошный космонавт.
Титов — первый космонавт.
Николаев — второй космонавт.

[Ильич]

Математически проще всего вообще ввести вещественные числа рядом аксиом, а числом k назвать сумму 1+...+1 (k раз) — подразумевая, что люди умеют считать.

Я другого способа определения числа k просто не знаю. Подразумевая под прибавлением единицы, переход к следующему натуральному. И называется такой подход  - аксиомы Пеано. Здесь же видно, что само определение натуральных чисел задает их порядок, способ перечисления. А уж дальше можно изгаляться как угодно. Вводить целые, неотрицательные, отрицательные, вещественные, ...
Можно избрести такую конструкцию: берем множество целых чисел, выбрасываем из него ноль. Ясно, что эта конструкция не является группой по сложению (в обычном смысле). Но упорядоченность в этой конструкции есть. Можно определить что-то вроде сложения, например так:
1+1=2
2+(-1)=1
(-1)+1=1
1+(-1)=(-1)
(-1)+(-1)=(-2)
Этой конструкцией мы пользуемся постоянно и называем летосчислением. (+1 - следующий год, +(-1) - предыдущий год, +5 - пять раз следующий год, +(-5) - пять раз предыдущий год). 

[Alone Coder]

Гагарин — нетошный космонавт.
Титов — первый космонавт.
Николаев — второй космонавт.

Вы используете условную привязку количественных числительных к порядковым.

[Квас]

Гагарин — нетошный космонавт.
Титов — первый космонавт.
Николаев — второй космонавт.

Вы используете условную привязку количественных числительных к порядковым.

Это настолько же условная привязка, насколько условен весь русский язык.

[Тайльнемер]

У меня две машины, Я хочу купить вторую, чтобы было три.

[Bhudh]

Зачем Вам две?

[Alone Coder]

У меня две машины, Я хочу купить вторую, чтобы было три.

Не вторую, а дватую!