Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Матан №2

Автор RawonaM, июля 22, 2011, 12:44

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Квас

На самом деле такие интегрированные курсы — это хорошо.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа  5, 2011, 11:14
На самом деле такие интегрированные курсы — это хорошо.
В некотором смысле да. В идеале должно быть параллельно обучение обзорное и детальное. Либо последовательно.
Мой первый курс матана был для математиков. А этот курс — просто для наук вообще (физиков, биологов и т.п.). Тут получается более практически и более поверхностно. Есть плюсы и минусы. Не могу сказать, что мне сильно нравится, но кроптеть еще два математических курса как я сидел над первым матаном пока что у меня нет желания — хочу побыстрее закончить учебу.

RawonaM

Нужно найти предел или доказать что не существует:

[tex]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}[/tex]

Перевожу в полярные координаты:
[tex]\lim_{r\to0}\frac{\sin(r^3(\cos^3\theta+sin^3\theta))}{r^2}=[/tex]

По Лопиталю:
[tex]=\lim_{r\to0}\frac{\cos(r^3(\cos^3\theta+sin^3\theta))\cdot 3r^2(\cos^3\theta+sin^3\theta)}{2r}=0[/tex]

Верно ли?

Квас

Ага, всё правильно. Идеологически важный момент в том, что пределы при (x,y)→(0,0) и при r→0 — это в точности одно и то же.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: RawonaM от августа  6, 2011, 13:24
Ага, всё правильно.
А производная от синуса тоже правильная? Мне вот неясно было что с тетами делать.
Впрочем, получается, что я к ним просто отношусь как к константам.

Цитата: Квас от августа  6, 2011, 13:29
Идеологически важный момент в том, что пределы при (x,y)→(0,0) и при r→0 — это в точности одно и то же.
Да, этот момент я уловил.

А если у меня, к примеру, (x,y)→(1,1), то получается в полярном (r,θ)→(√2,π/4)?

Квас

Стоп! При дифференцировании мы считаем частную производную, то есть предполагаем, что θ фиксировано. А почему, собственно? Лопиталь не проходит.

Я бы доказал, что предел равен 0, оценив синус.

Цитата: RawonaM от августа  6, 2011, 13:35
А если у меня, к примеру, (x,y)→(1,1), то получается в полярном (r,θ)→(√2,π/4)?

Здесь да. В общем случае импликация в обратную сторону: если в полярных, то и в декартовых (потому что декартовы координаты непрерывно выражаются через полярные, а в наоборот могут быть трудности). Но в окрестности точки (1,1) это, конечно, одно и то же.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа  6, 2011, 13:43
Стоп! При дифференцировании мы считаем частную производную, то есть предполагаем, что θ фиксировано. А почему, собственно? Лопиталь не проходит.
Вот-вот, этот вопрос у меня и возникал, поэтому я засомневался. А что, нельзя продифференцировать так, чтобы с фитами все в порядке было?


Цитата: Квас от августа  6, 2011, 13:43
декартовых
У нас называются Cartesian, кстати, хотя и это одна фамилия :)

Квас

Цитата: RawonaM от августа  6, 2011, 13:53
А что, нельзя продифференцировать так, чтобы с фитами все в порядке было?

Думаю, что нет. Если считать θ=const, то мы приближаемся к началу координат по отрезкам, а из сходимости при r→0 следует сходимость при приближении по любому пути, даже негладкому по θ.

Главное, что скобка с синусами-косинусами ограничена, поэтому при малых r имеем, например,
[tex]\left|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))\right|\leqslant\sin2r^{3}=2r^{3}+o(r^3)[/tex]
Пишите письма! :)

Bhudh

Цитата: Квас от если движение по кривой с точностью до бесконечно малой высшего порядка заменить движением по окружности, то главная нормаль будет смотреть в её центр.
Внутрь⁈ Чё-то всегда думал, что наружу... Век живи... :-\
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

RawonaM

Цитата: Квас от августа  6, 2011, 13:59
Главное, что скобка с синусами-косинусами ограничена, поэтому при малых r имеем, например,
[tex]\left|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))\right|\leqslant\sin2r^{3}=2r^{3}+o(r^3)[/tex]
Т.е. разложить

[tex]\sin(-2r^{3}) \leqslant \sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)) \leqslant\sin2r^{3}[/tex]

И по теореме о трех ментах?

Квас

Ага, можно так. Мне просто привычней модуль оценивать.
Пишите письма! :)

RawonaM


Квас

Пишите письма! :)


RawonaM

Что-то мне непонятно вот тут: есть функция [tex]xy/\sqrt{x^2+y^2}[/tex], в нуле определена как ноль. Вся функция непрерывна. У нее есть частичные производные в нуле, но они не непрерывны. Как это так? Запутался совсем.

Квас

На [tex]\left[ 0, \frac \pi2 \right][/tex] синус возрастает, а в силу его нечётности имеем |sin t| = sin |t|. Поэтому раз
[tex]|r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)| \leqslant 2r^3,[/tex]
то
[tex]|\sin(r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta))| = \sin|r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)| \leqslant \sin 2r^3.[/tex]
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от августа 10, 2011, 21:21
Что-то мне непонятно вот тут: есть функция [tex]xy/\sqrt(x^2+y^2)[/tex], в нуле определена как ноль. Вся функция непрерывна. У нее есть частичные производные в нуле, но они не непрерывны. Как это так? Запутался совсем.

А почему нет? Дифференцируемость — более сильное свойство, чем непрерывность.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:23
А почему нет? Дифференцируемость — более сильное понятие, чем непрерывность.
Вы намекаете, что она не дифференцируема?

Квас

Цитата: RawonaM от августа 10, 2011, 21:26
Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:23А почему нет? Дифференцируемость — более сильное понятие, чем непрерывность.
Вы намекаете, что она не дифференцируема?

Конечно, в нуле недифференцируема. Из дифференцируемости следует существование частных производных, а здесь их нет.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:32
Конечно, в нуле недифференцируема. Из дифференцируемости следует существование частных производных, а здесь их нет.
Частные производные есть. Но они не непрерывны.

Квас

Пишите письма! :)

RawonaM


RawonaM

По определению производной:
[tex]f_x(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=0[/tex]

Так же и вторая.

Квас

Нуль в числители просмотрел: функция же на осях обнуляется.

Ладно, тогда по определению недифференцируема. Потому как предела [tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex] при (x,y)→(0,0) не существует.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:50
Потому как предела [tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex] при (x,y)→(0,0) не существует.
У вас не та функция. Должно быть [tex]x̄y / \sqrt{x^2 + y^2}[/tex] (с доопределением в нуле для непрерывности). Так что и предел существует и непрерывна.

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр