Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Матан №2

Автор RawonaM, июля 22, 2011, 12:44

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Квас

Цитата: RawonaM от сентября  7, 2011, 20:15
Цитата: Квас от сентября  7, 2011, 20:11
Цитата: arseniiv от сентября  7, 2011, 18:50[tex]\varphi[/tex]
Эх, нет счастья. В нашей математике должны быть прямые греческие буквы, а Кнут их даже не нарисовал. :wall:
У нас фи пишут прямой, ибо иначе он с ро путается.

«Прямые» в смысле «некурсивные» я имел в виду. Из-за ТеХа у нас теперь все книги по математике выходят с курсивными греческими буквами. :'(
Пишите письма! :)

arseniiv

Offtop
Цитата: Квас от сентября  7, 2011, 20:31
Если чего более человеческое расскажешь, буду очень благодарен.
Да вот не помню, было ли такое и где в таком случае читал. :-\

RawonaM

Мэпл умеет как-то интеллигентно считать линейные интегралы? Или самому нужно все подставлять, а он только чисто интеграл считает?
Мне нужно проверить результат, я не уверен, что понял эти линейные интегралы.
[tex]\int_C x^2y\,ds[/tex] на полукруге x²+y²=4, 0≤y. У меня вышло 16/3.

RawonaM

Я правильно понимаю, что в интеграле [tex]\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz[/tex] на отрезке (3,4,5) до (3,4,0) первые две части будут нулем?
Т.к. по этим измерениям не движемся, а алгебраически x=3, dx/dt=0 ⇒ dx=0·dt.

Квас

Цитата: RawonaM от сентября  8, 2011, 19:28
Мэпл умеет как-то интеллигентно считать линейные интегралы?

Старые версии не умеют, а новые я для этого особо не применял. Может, VectorCalculus какое-нибудь.
Пишите письма! :)

RawonaM

И потом, я не пойму, в линейных интегралах направление играет роль или нет?

Квас

В интегралах первого рода (ds) не играет, второго рода (dx) — играет.
Пишите письма! :)

RawonaM

А в чем между ними разница? Разве они не одно и то же считают?

Квас

Да ну. Интеграл первого рода — это просто на кривой индуцируется мера, и рассматривается самый обыкновенный интеграл. А в интегральных суммах для интеграла второго рода участвуют величины
[tex]x_{i+1}-x_{i},[/tex]
которые меняют знак при изменении порядка точек, то есть при изменении направления обхода.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от сентября  8, 2011, 20:23
Да ну. Интеграл первого рода — это просто на кривой индуцируется мера, и рассматривается самый обыкновенный интеграл. А в интегральных суммах для интеграла второго рода участвуют величины
[tex]x_{i+1}-x_{i},[/tex]
которые меняют знак при изменении порядка точек, то есть при изменении направления обхода.
Я имею в виду, результат разве не должен быть один и тот же — линейный интеграл? Что-то я в эту тему не въехал, как-то это плохо в книге объясняется.

Мне нужно посчитать интеграл [tex]\int_C (e^x\sin y -y^2+x) dx + (e^x cos^y - cos(y^2))dy[/tex] на полуокружности x²+y²=x, 0≤y.

Воспользуемся теоремой Грина, посчитаем круговой интеграл на отрезке (0,0)→(1,0) и дальше по дуге назад.

[tex]\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x-x^2}} 2y \,dydx=\frac16[/tex]

Теперь только отрезок (0,0)→(1,0)
[tex]\int_0^1 x \,dx=\frac12[/tex]

Поэтому интеграл на дуге [tex]-\frac13[/tex]

Правильно?

RawonaM

Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37
Кстати, анализ без дифуров — деньги на ветер. ;)
Наконец-то мой материальный вклад возвращается в виде дифуров второго порядка. Замучили, нудная это штуковина. Трехмерные интегралы, поверхности и т.п — интереснее.

Квас

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26
Я имею в виду, результат разве не должен быть один и тот же — линейный интеграл?

Нет, ведь единого интеграла по кривой не существует. Есть интеграл первого рода и интеграл второго рода. В частности, при изменении направления обхода кривой первый из них не меняется, а второй меняет знак.

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26
Правильно?

Рассуждения верны, с ответом мэпл согласен. (Проверил в лоб:
>X := 0.5+0.5*cos(t); Y := 0.5*sin(t);
>int( (exp(X)*sin(Y) - Y^2 + X)*diff(X,t) + (exp(X)*cos(Y)-cos(Y^2))*diff(Y,t), t = 0..Pi);
>evalf(%);
)
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:00
Цитата: Квас от декабря 17, 2010, 16:37Кстати, анализ без дифуров — деньги на ветер. ;)
Наконец-то мой материальный вклад возвращается в виде дифуров второго порядка. Замучили, нудная это штуковина. Трехмерные интегралы, поверхности и т.п — интереснее.

Интегралы — инструмент. Дифуры — стиль жизни. Очень советую
В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Хорошо гуглится, например вот.)
Выражаясь словами вождя, эта книга меня в своё время перепахала.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:24
Интегралы — инструмент. Дифуры — стиль жизни.
Так это наверное физикам всяким, а мне-то они зачем пригодиться могут?..

Книгу посмотрю, спасибо.

Bhudh

Цитата: RawonaM от а мне-то они зачем пригодиться могут?..
Пожарное ведро рассчитать.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

RawonaM

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:21
Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26Я имею в виду, результат разве не должен быть один и тот же — линейный интеграл?
Нет, ведь единого интеграла по кривой не существует. Есть интеграл первого рода и интеграл второго рода. В частности, при изменении направления обхода кривой первый из них не меняется, а второй меняет знак.
Как я понял из вики, интеграл первого рода считается на скалярном поле, а второго — на векторном, правильно?

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:21
Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 10:26Правильно?
Рассуждения верны, с ответом мэпл согласен. (Проверил в лоб:
>X := 0.5+0.5*cos(t); Y := 0.5*sin(t);
>int( (exp(X)*sin(Y) - Y^2 + X)*diff(X,t) + (exp(X)*cos(Y)-cos(Y^2))*diff(Y,t), t = 0..Pi);
>evalf(%);
)
Спасибо, теперь я буду знать как считать линейные интегралы в мэпле :)

Квас

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:29
Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 22:24Интегралы — инструмент. Дифуры — стиль жизни.
Так это наверное физикам всяким, а мне-то они зачем пригодиться могут?..

Не знаю... :donno: Я вообще не знаю, зачем вам нужен анализ. Но анализ является фундаментом для дифуров: обыкновенных и с частными производными. Матанализ — это язык.

Дифуры важны потому, что ими описывается большАя (думаю, бОльшая) часть законов природы, вовсе не только в физике. Всякое математическое моделирование наиболее эффективно в тех областях, где проблему можно свести к дифференциальным уравнениям или задаче оптимизации.
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от сентября 10, 2011, 22:31
Как я понял из вики, интеграл первого рода считается на скалярном поле, а второго — на векторном, правильно?

Ну, можно и так сказать, если на языке полей.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от сентября 10, 2011, 23:18
Дифуры важны потому, что ими описывается большАя (думаю, бОльшая) часть законов природы, вовсе не только в физике.
Даже так...
Ну ничего, я их полюблю, если надо будет. Просто они не вовремя мне попались, я уже неделю непровылазно сижу над матаном, уже подустал, перенасыщение у меня. Думаю сдавать экзамен 22-го числа или отложить. Все-таки материала очень много, а я еще даже не начал готовиться к экзамену как следует.

RawonaM

Дана функция f(t) дифференцируема и не постоянна. Известно что для любой закрытой кривой на (x,y) верно [tex]\int_C f(x^ny)(ydx+xdy)=0[/tex]. Найти n для которого данное свойство верно.

Мой ответ:
Из данных следует, что поле консервативно. По свойству консервативного поля:
[tex](f(x^ny)y)_y=(f(x^ny)x)_x[/tex]
При этом:
[tex](f(x^ny)y)_y = f'(x^ny)x^n \cdot y + f(x^ny)\cdot1[/tex]
[tex](f(x^ny)x)_x = f'(x^ny)y n x^{n-1} \cdot x + f(x^ny)\cdot1[/tex]

Откуда следует:
[tex]f'(x^ny)x^n \cdot y = f'(x^ny)y n x^{n-1} \cdot x[/tex]

Дано что f непостоянная, поэтому f'≠0. Значит:
[tex]x^n \cdot y = n x^n \cdot y [/tex]

Теперь тут я думаю. Если x≠0, y≠0, то n=1. А если х или у таки ноль, то что, любой n? Но это же нонсенс. Может нужно сказать, что т.к. это верно на всем xy, то нужно брать то, что верно на всем пространстве, а именно n=1. Правильно?

Квас

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53
Может нужно сказать, что т.к. это верно на всем xy, то нужно брать то, что верно на всем пространстве, а именно n=1. Правильно?

Да, совершенно верно. Потому что n у нас раз и навсегда зафиксировано, а x и y бегают по плоскости.

Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53
Дано что f непостоянная, поэтому f'≠0. Значит:
[tex]x^n \cdot y = n x^n \cdot y [/tex]

Если функция непостоянна, её производная может обращаться в 0. Так что нужно выбрать точку c, такую, что f'(c) ≠ 0. При этом из-за множителей xny нужно потребовать, чтобы c≠0. Всегда ли это можно сделать? Очевидно, да: если f'(t) = 0 при t ≠ 0, то f постоянна как на (-\infty, 0], так и на [0,+\infty), то есть на всей оси.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от сентября 11, 2011, 09:51
Цитата: RawonaM от сентября 11, 2011, 08:53Дано что f непостоянная, поэтому f'≠0. Значит:
[tex]x^n \cdot y = n x^n \cdot y [/tex]
Если функция непостоянна, её производная может обращаться в 0. Так что нужно выбрать точку c, такую, что f'(c) ≠ 0. При этом из-за множителей xny нужно потребовать, чтобы c≠0. Всегда ли это можно сделать? Очевидно, да: если f'(t) = 0 при t ≠ 0, то f постоянна как на (-\infty, 0], так и на [0,+\infty), то есть на всей оси.
Действительно, этот момент я не учел.

Мерси :)

RawonaM

Что-то я не врубаюсь, [tex]\sec t=\cos^{-1} t=\frac1{\cos t}[/tex], не так ли? В таком случае, почему у них разные интегралы?

Toivo


Bhudh

Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр