Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Матан №2

Автор RawonaM, июля 22, 2011, 12:44

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

RawonaM

Я не могу понять, как может выглядеть функция, у которой производная что-то там, потом в нуле резко ноль, потом еще что-то там в минусе, при этом нет непрерывности в нуле. Как же будет выглядеть касательная?

Квас

Цитата: RawonaM от августа 10, 2011, 21:53
У вас не та функция. Должно быть [tex]x̄y / \sqrt{x^2 + y^2}[/tex] (с доопределением в нуле для непрерывности). Так что и предел существует и непрерывна.

Это у меня записано выражение
[tex]\frac{f(h)-f(0)}{|h|}[/tex]
для h = (x, y).
Пишите письма! :)

RawonaM

Тогда у вас ошибка тут:
Цитата: Квас от августа 10, 2011, 21:50
Ладно, тогда по определению недифференцируема. Потому как предела [tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex] при (x,y)→(0,0) не существует.
Из того, что не существует предел производной, не следует, что функция недифференцируема.
Если производная непрерывна, то функция дифференцируема, но если производная ненепрерывна, то из этого ничего не следует.

RawonaM

Пытаюсь таки понять, как вы к этому пришли: [tex]x̄y / (x^2 + y^2)[/tex], не получается.

Квас

Пишите письма! :)

RawonaM

Ничего, задачка-то непроста оказалась :)

Квас

Предположим, что в нуле наша функция дифференцируема. Это значит, что существуют такие числа A и B, что
[tex]f(x,y) = Ax + By + o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)[/tex]
Из дифференцируемости следует существование частных производных в 0, при этом
[tex]A=\frac{\partial f}{\partial x}\Bigg|_{x=0,\ y=0}=0,\quad B=\frac{\partial f}{\partial y}\Bigg|_{x=0,\ y=0}=0[/tex]
Следовательно,
[tex]f(x,y) = o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)[/tex]
Однако
[tex]\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\not\to0\quad((x,y)\to0).[/tex]
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение неверно, и функция недифференцируема в 0.
Пишите письма! :)

RawonaM

Да, что-то типа этого нужно, только знакомое мне определение дифференцируемости несколько иначе выглядит, а функцию о() я вообще не понимаю.

Квас

Символом o(f) может быть обозначена любая функция αf, где α — бесконечно малая.
Пишите письма! :)

RawonaM

Спасибо Квас, с этой задачей разобрался.

Вот еще такой предел надо посчитать:
[tex]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2}[/tex]

Я перевел в полярные координаты и вышло [tex]\inline \frac12sin2\theta[/tex]. Это значит, что предела не существует, верно?

Квас

А это точно верно? :-\ Что-то непонятно, как воевать с
[tex]\sqrt{r^2 \cos \theta \sin \theta + 1}[/tex]
Я раскладываю по формуле Тейлора:
[tex]\frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2} = \frac 12 \frac{x^2y^2 + o(x^2 y^2)}{x^2+y^2}[/tex]
(даже если о-символику вы не знаете, формулу Тейлора можно в каком-нибудь другом виде). А отсюда очевидно, что предел существует: например, потому что величина
[tex]<br />\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}<br />[/tex]
ограничена (единицей).
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02
(даже если о-символику вы не знаете, формулу Тейлора можно в каком-нибудь другом виде).
Формулу Тейлора я теоретически знаю, но я ее уже забыл. Про о() там упоминалось вскользь, я тем более забыл. Там используется метод Лагранжа для записи остатка, что-то типа того.

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02
А отсюда очевидно, что предел существует: например, потому что величина
[tex] \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/tex]
ограничена (единицей).
Что-то непонятно это утверждение и как вы получили это выражение.  :???

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02
Что-то непонятно, как воевать с
[tex]\sqrt{r^2 \cos \theta \sin \theta + 1}[/tex]
Ну я вот так сделал:
[tex]\lim_{r\to0}\frac{\sqrt{r^4sin^2tcos^2t+1}-1}{r^2}=[/tex][tex]\lim_{r\to0}\frac{\sqrt{sin^2tcos^2t+1/r^4}-1/r^2}{r^2/r^2}=[/tex][tex]\sqrt{sin^2tcos^2t}}=\frac{|sin2t|}{2}[/tex]

Разве тут что-то не так?

Квас

Так 1/r4 и 1/r2 не обнуляются, а в бесконечность уходят.

Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35
Формулу Тейлора я теоретически знаю, но я ее уже забыл.

:negozhe: Формула и ряд Тейлора — важные инструменты анализа, а веке в восемнадцатом на них вся математика держалась. Идеология формулы Тейлора: она позволяет аппроксимировать дифференцируемые функции многочленами.

Если аналитическим методам предпочитаете элементарные, домножайте числитель и знаменатель на сопряжённое.

Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35
Цитата: Квас от августа 11, 2011, 00:02А отсюда очевидно, что предел существует: например, потому что величина
[tex] \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/tex]
ограничена (единицей).
Что-то непонятно это утверждение и как вы получили это выражение.  :???

У нас был предел выражения
[tex]\frac 12 \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}+\frac 12 \frac{ o(x^2 y^2)}{x^2+y^2}[/tex]
Как бороться с первым слагаемым?
[tex]\frac 12 \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} = \frac {y^2}2 \frac{x^2}{x^2+y^2}[/tex]
Это есть произведение бесконечно малой на ограниченную. Второй множитель ограничен, потому что он неотрицательный и знаменатель больше числителя (значит, меньше 1).

Раз первое слагаемое стремится к 0, то второе тоже, потому что оно даже меньше:
[tex]\frac 12 \frac{ o(x^2 y^2)}{x^2+y^2} = \frac{ o(x^2 y^2)}{x^2y^2} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}\to 0 \cdot 0 = 0[/tex]

Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 09:58
Так 1/r4 и 1/r2 не обнуляются, а в бесконечность уходят.
вот я идиот!! :wall: :wall:

RawonaM

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 09:58
Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 09:35Формулу Тейлора я теоретически знаю, но я ее уже забыл.
:negozhe: Формула и ряд Тейлора — важные инструменты анализа, а веке в восемнадцатом на них вся математика держалась. Идеология формулы Тейлора: она позволяет аппроксимировать дифференцируемые функции многочленами.
Вот, ряд Тейлора по-моему я должен знать. А что такое формула Тейлора?

RawonaM

Тейлор и маклорен мне к экзамену нужны, так что в любом случае надо возвращаться и освежать.

RawonaM

Подомножил на сопряженное, ничего толкового не вышло :(

Квас

Цитата: RawonaM от августа 11, 2011, 10:02
А что такое формула Тейлора?

Это представление функции в виде
[tex]f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+r_{n}(a;x)[/tex]
где rn(a;x) — некий остаток. Соль в остатке: по смыслу он должен быть мал. В отличие от ряда Тейлора, в который раскладываются только достаточно «хорошие» функции (аналитические), формула Тейлора справедлива справедлива в весьма общих предположениях: например, достаточно (n+1)-кратной непрерывной дифференцируемости, чтобы была справедлива написанная мной формула с остатком в форме Лагранжа. Для приложений часто бывает достаточно более слабой формы Пеано:
[tex]r_n (a;x) = o((x-a)^n)[/tex]

Кстати, в задачах использование о-символики часто основывается на соотношении
[tex]\frac{o(f)}{f} \to 0. [/tex]

Вот домножение на сопряжённое:
[tex]<br />\frac{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}}<br />[/tex]
Второй множитель ни на что не влияет, а первый, как мы убедились, стремится к 0.

Чем формула Тейлора круче: она имеет универсальную применимость, а элементарный подход требует знания особых приёмов для каждой функции. А ну как в числителе вместо довольно приличного выражения стояло бы
[tex]<br />\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-\sqrt[3]{xy^{3}+1}<br />[/tex]
?
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 13:18
Вот домножение на сопряжённое:
[tex] \frac{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}} [/tex]
Второй множитель ни на что не влияет, а первый, как мы убедились, стремится к 0.
А как вы знаете, что второй множитель ни на что не влияет?

Квас

Пишите письма! :)


RawonaM

[tex]f(x,y)=\begin{cases}<br />\frac xy \sin y & y \neq 0 \\<br />c & y = 0<br />\end{cases}[/tex]

Существует ли такой c, при котором функция непрерывна?

Я говорю нет, т.к. [tex]\lim_{y\to0}\frac xy \sin y=x[/tex].

c должен быть равен х, поэтому при любой константе функция не будет непрерывна. Правильно?

Квас

Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от августа 11, 2011, 13:18
Вот домножение на сопряжённое:
[tex] \frac{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}-1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}} [/tex]
Второй множитель ни на что не влияет, а первый, как мы убедились, стремится к 0.
Разве не должно быть [tex]=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}+1}+1}[/tex]? Единицы не хватает вроде.

Квас

Пишите письма! :)

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр