Математика как гуманитарная наука

[Квас]

А вот какой прикол в математике, я так и не понял

Чтобы развить мозги, надо их развивать, и это не тавтология. Математика, самая гуманитарная из всех наук, весьма для этого подходит.

[Dana]

Математика, самая гуманитарная из всех наук

ЩИТО?

[Квас]

OfftopЦитата: Квас от Сегодня в 22:17

Математика, самая гуманитарная из всех наук

ЩИТО?

Да-да, это так. Всё, что изучает математика, находится в человеческом сознании. Математику абсолютно не интересует ничто за пределами сознания, внешний мир для неё не существует.

[myst]

Да-да, это так. Всё, что изучает математика, находится в человеческом сознании. Математику абсолютно не интересует ничто за пределами сознания, внешний мир для неё не существует.

Да её и человеческое сознание-то не интересует.

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 22:29

Да-да, это так. Всё, что изучает математика, находится в человеческом сознании. Математику абсолютно не интересует ничто за пределами сознания, внешний мир для неё не существует.

Да её и человеческое сознание-то не интересует.

Разумеется. Потому что сознание существует не внутри сознания.

Гуманитарной математику делает то, что она работает только с человеком.

На самом деле понятно, что математику вообще трудно классифицировать. С содержательной стороны, как сказал Арнольд, «математика — часть физики, в которой эксперимент дёшев», и с ним я тоже согласен. Но нельзя отрицать и то, что по крайней мере со времени греков математика изучает сущности, принадлежащие исключительно человеческому мышлению, и поэтому она сращена с человеком, наверно, больше, чем любая другая наука. (Логика ещё, может быть?)

Просто когда я услышал точку зрения о математике как гуманитарной науке (от одного преподавателя философии), она мне очень запала в душу.

[Ellidi]

С содержательной стороны, как сказал Арнольд, «математика — часть физики, в которой эксперимент дёшев», и с ним я тоже согласен.

Это Арнольд Зоммерфельд говорил или другой Арнольд?

[RawonaM]

Такую точку зрения постоянно высказывал Amateur.

Все-таки, имхо, это в качестве метафоры хорошо, а на самом деле математика таки изучает больше таки явления природы, а не человека.

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 22:46

С содержательной стороны, как сказал Арнольд, «математика — часть физики, в которой эксперимент дёшев», и с ним я тоже согласен.

Это Арнольд Зоммерфельд говорил или другой Арнольд?

Владимир Игоревич Арнольд, академик, умер недавно.

[Квас]

Все-таки, имхо, это в качестве метафоры хорошо, а на самом деле математика таки изучает больше таки явления природы, а не человека.

Это не метафора.

Есть объект науки, есть предмет науки. Объект математики — количественные отношения и пространственные формы действительного мира (определение Колмогорова, которое восходит, если не ошибаюсь, к Энгельсу). Но математика работает не непосредственно с ними, а с отражающими их конструкциями в сознании. Эти конструкции (множества, алгебраические структуры и пр.) и являются её предметом.

Математика не изучает человека в целом. Но всё то, с чем она работает непосредственно, находится у человека в голове. И пример другой такой науки привести трудно, если возможно.

[Python]

Да её и человеческое сознание-то не интересует.

При желании, даже сознание можно упрощенно описать языком математики. Другой вопрос, будет ли математическое «сознание» иметь хоть что-то общее со своим реальным прототипом.

[Квас]

Цитата: myst от Сегодня в 22:33

Да её и человеческое сознание-то не интересует.

При желании, даже сознание можно упрощенно описать языком математики. Другой вопрос, будет ли математическое «сознание» иметь хоть что-то общее со своим реальным прототипом.

И это уже относится не к математике, а к приложениям математики в психологии.

[Python]

Нет, представим себе некую «теорию сознаний», описывающую некоторые абстрактные сущности, именуемые сознаниями, и связанную с сознанием человека примерно так же, как теория катастроф — с реальными катастрофами.

[Damaskin]

Цитата: myst от Сегодня в 22:33

Да её и человеческое сознание-то не интересует.

При желании, даже сознание можно упрощенно описать языком математики. Другой вопрос, будет ли математическое «сознание» иметь хоть что-то общее со своим реальным прототипом.

И это уже относится не к математике, а к приложениям математики в психологии.

Это относится скорее к философии.

Впрочем, неважно как классифицировать математику. Дело в другом. У математики, как мне кажется, форма совпадает с содержанием. Из-за этого мне с ней скучно.

[Квас]

У математики, как мне кажется, форма совпадает с содержанием.

Драматически не совпадает, просто-таки диалектическое противоречие (как и положено). Форма — логика: определения, теоремы, и больше ничего. Форма как раз относится к объектам из сознания. Но за формой стоят идеи, которые как раз и являются настоящим содержанием. Потому что невозможно с потолка взять какие-то объекты и на этой основе создать содержательную теорию. И объекты, и идеи приходят из внешнего мира, «их подсматривают в щёлку у природы», как говорит мой бывший научный руководитель. Разумеется, при решении задач математик не мыслит теоремами: творческое мышление иррационально, и окончательное изложение решения всегда очень далеко от изначального хода мысли.

В большинстве математических работ (включая сюда львиную долю учебников) изложение формально-логическое. Чтобы извлечь из них пользу, нужно докопаться до идей, которые стоят за этой формой, и это нетривиальная задача. Хорошее упражнение для мозгов.

[Damaskin]

Может быть. Интересно было бы посмотреть на примерах. Для меня абстракции не очень существуют. 

[Квас]

Может быть. Интересно было бы посмотреть на примерах. Для меня абстракции не очень существуют. 

Хотел привести показательный кусочек из общей топологии, но для начала решил ограничиться определением отображения. Сравните два определения: школьное (нематематическое по своему характеру) и настоящее.

Понятия множества, элемента и отношения «принадлежать» считаем интуитивно ясными и неопределяемыми, как это обычно делается в «наивной» теории множеств. Предложение «a принадлежит A» кратко записывается . Множество, состоящее из элементов a, b, c...обозначается {a, b, c...}.

***

Пусть X, Y — множества.

Определение. Отображением множества X во множество Y называется правило (закон, соответствие), по которому каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y.

***

Определение. Упорядоченной парой (x,y) называется множество {x, {x,y}}.

Предложение. Упорядоченные пары , равны тогда и только тогда, когда


Пусть X, Y — множества.

Определение. Декартовым произведением называется множество упорядоченных пар , таких, что .

Определение. Отображением f множества X во множество Y называется такое подмножество декартова произведения , что из следует .

***

И так всю жизнь!

В этом примере изначально понятно, что именно формализуется. В принципе, я могу привести какой-нибудь пример, в котором надо будет это угадать.

[Damaskin]

"Угадать" не надо.
У меня появилось подозрение, что вы пытаетесь более точно описать реальность через усложнение языка описания. Но я не уверен, что мое подозрение верно.

[RawonaM]

У меня появилось подозрение, что вы пытаетесь более точно описать реальность через усложнение языка описания. Но я не уверен, что мое подозрение верно.

Не через усложнение, а через формальное и последовательное описание.
Возьмем например как лингвисты строят фонологию. Настроили чего-то там, посмотрели — логично, красиво и просто — значит хорошо. Следовательно, если один факт основывается на другом, а этот в свою очередь основывается на первом, то это никому не мешает, ведь все и так красиво работает.

У математиков такое не проходит. Если Б следует из А, С из Б, то нельзя доказывать, что А следует из С, и из этого сделать вывод, что у нас красивая теория и все супер, все сходится.

По крайней мере это мне сразу бросается в глаза между мышлением математиков и лингвистов.

[Damaskin]

Не через усложнение, а через формальное и последовательное описание.

Так и знал, что вы это скажете 
То есть не вы конкретно...

Впрочем, да, к специфике математики это не имеет отношения.

[Квас]

У меня появилось подозрение, что вы пытаетесь более точно описать реальность через усложнение языка описания.

Наверно, так. Точность — основная цель. Поскольку математика не подлежит экспериментальной проверке, то вся надежда на безупречность логики. И вся наглядность без сожаления приносится в жертву логике и строгости изложения.

Когда решаешь задачу (не из задачника, а в широком смысле), то крутишь-вертишь в голове всякие идеи, они как-то взаимодействуют друг с другом, в каком-то порядке идут. Когда же решение готово, оно облекается в логическую форму определений и теорем, в которых изначальный ход мысли может отражаться, а чаще и не отражаться.

Ещё можно было бы привести в качестве примера какую-нибудь теорему аналитического характера с громоздкими преобразованиями и оценками. Несведущему человеку может казаться невероятным, что человек мог придумать всю эту цепочку формул и неравенств. Поэтому студенту на спецкурсе стараешься на пальцах пояснить, откуда эти неравенства берутся, как они помогают достичь поставленной цели, какие из них играют центральную роль и какие свойства задачи они выражают и т. д.

[Квас]

Кстати, в моём примере об отображениях всё совершенно честно сводится к понятием «множество», «элемент», «принадлежать». Никакой метафизики типа «правил» или «законов» нет.

[RawonaM]

Когда решаешь задачу (не из задачника, а в широком смысле), то крутишь-вертишь в голове всякие идеи, они как-то взаимодействуют друг с другом, в каком-то порядке идут. Когда же решение готово, оно облекается в логическую форму определений и теорем, в которых изначальный ход мысли может отражаться, а чаще и не отражаться.

Вот это да. Бесит

[Damaskin]

Интересно, можно ли перевести второе определение на естественный язык? У меня не получилось.

[Квас]

Определение. Отображением f множества X во множество Y называется такое подмножество декартова произведения , что из следует .

Вообще-то забыл добавить «и для любого существует , такой что ». Иначе получается отображение, определённое на части X. Впрочем, такое тоже бывает.

Интересно, можно ли перевести второе определение на естественный язык?

Можно, конечно.

В чём состоит задание «правила/закона»? Нужно каким-то способом каждому x приписать y. Если бы X было конечным множеством, можно было бы таблицу написать: каким x какие y становятся в соответствие. Отбрасывая бумагу и конечность множества, получаем, что задание соответствия эквивалентно заданию пар, на первом месте которых стоят всевозможные элементы из X, а на втором — те элементы из Y, которые им соответствуют. «Эквивалентно» в том смысле, что интуитивное понятие соответствия и набор упорядоченных пар несут одинаковую информацию.

Пары уже намекают на декартово произведение, то есть мы поняли, что в качестве отображения можно взять его подмножество. Какое? Нужно, чтобы каждому x ставился в соответствие единственный y. Мы добились этого, заложив соответствующее требование в определение: если иксу ставятся в соответствие два игрека, то они совпадают. А моя последняя добавка гарантирует, что каждому x кто-то поставлен в соответствие.

Понятно объяснил?

Конечно, математики в основом мыслят отображения именно как «соответствия», но формальное определение быть должно. Это общее место: есть какие-то интуитивные соображения, к ним подбираются адекватные формальные конструкции. Мыслят интуитивно, потом облекают доказательства в логическую форму. И всё-таки «математик никогда не знает, что он говорит, и верно ли то, что он говорит» (не помню, кто сказал). Отношения формальных конструкций и интуиции, а также реальности может быть разным. Здесь можно вспомнить о евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского и геометрии физического пространства.

[Квас]

А, насчёт упорядоченных пар ещё. В этом понятии главное не определение, а свойство, выраженное в предложении. То есть мы хотим как-то определить пару (x,y), чтобы порядок был существенным (вообще в множествах естественной упорядоченности нет: множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов). А как определить такую пару исходя только из понятия «множество»? Оказывается, можно определить, как хитро устроенное множество {x, {x,y}}, одним из элементов которого является x, а другим — неупорядоченная пара {x,y}. Если мы берём такое определение, то доказательство предложения сводится к тривиальной проверке, так что определение оправдано.

Вопрос: как первый человек, написавший {x, {x,y}}, догадался, что можно так сделать? Ответ: это его ноу-хау. Может быть, методом проб и ошибок.