Линейная алгебра

Квас · февраля 27, 2011, 23:14

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:08
Решил вроде все комплексы.

А я так и не отфоткал ещё... Ну, невелика потеря. Я эту методичку сам ни разу не читал.

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:08
А почему детерминанту вы обозначаете как |A| кроме det(A)?

Для краткости, наверно. Я обычно det пишу, но вот решение примера выше как-то громоздко с ним выглядит. По происхождению это те же прямые скобки, которые из матрицы делают определитель. В книгах встречается: например, у Куроша (известный учебник, но материал там излагается как-то старомодно, поэтому не предлагаю).

RawonaM · февраля 27, 2011, 23:21

Ну вот с комплексами не все так просто, там еще есть модули и те что с палкой сверху, забыл как называются. А еще тригометрическое представление через косинусисинус, неинтуитивно.

Квас · февраля 27, 2011, 23:23

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:21
те что с палкой сверху, забыл как называются.

Сопряжённые.

Верх теории там — формула Муавра (возведение в степень) и извлечение корней. Так что неособо много всего. Зато любопытные приложения к тригонометрии, когда формула Муавра и бином Ньютона позволяют получать формулы кратных углов.

RawonaM · февраля 27, 2011, 23:46

Верно ли же: $[tex]|\frac{b+ai}{b-ai}|=\frac{|b+ai|}{|b-ai|}=1[/tex]$ ?

RawonaM · февраля 27, 2011, 23:49

Цитата: Квас от февраля 27, 2011, 23:14
По происхождению это те же прямые скобки, которые из матрицы делают определитель.

Убивает, что в математике используются одинаковые обозначения для разных вещей...
$[tex]f^{-1}(x)[/tex]$ - обратная к f или 1/f?

Квас · февраля 27, 2011, 23:57

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:46
Верно ли же: $[tex]|\frac{b+ai}{b-ai}|=\frac{|b+ai|}{|b-ai|}=1[/tex]$ ?

Ага. А геометрически очевидно: сопряжённые точки симметричны относительно вещественной оси.

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:49
Убивает, что в математике используются одинаковые обозначения для разных вещей...

Более того, общеобязательных обозначений практически нет. (Ну, число пи там...) Зато это намекает, что формулы не главное, а главное — идеи.

RawonaM · февраля 28, 2011, 09:00

Цитата: Квас от февраля 27, 2011, 23:57
ЦитироватьВерно ли же: $[tex]|\frac{b+ai}{b-ai}|=\frac{|b+ai|}{|b-ai|}=1[/tex]$ ?
Ага. А геометрически очевидно: сопряжённые точки симметричны относительно вещественной оси.

Да, что второе равенство очевидно, то да, а вот то, что первое, я так и не понял как дойти до этого.

Цитата: Квас от февраля 27, 2011, 23:57
ЦитироватьУбивает, что в математике используются одинаковые обозначения для разных вещей...
Более того, общеобязательных обозначений практически нет. (Ну, число пи там...) Зато это намекает, что формулы не главное, а главное — идеи.

Ну то да, математика — найгуманитарнейшая из негуманитарных

Квас · февраля 28, 2011, 16:15

Комплексные числа
Линейные операторы
Пространства со скалярным произведением

Если получится получше копии раздобыть, то я уж не премину.

Offtop

Цитата: RawonaM от февраля 28, 2011, 09:00
Ну то да, математика — найгуманитарнейшая из негуманитарных

Как-то на философии нам сказали, что математика может рассматриваться самой гуманитарной из всех наук. Потому что изучаемые ею сущности существуют исключительно в человеческом сознании. Но те идеи, из которых состоит содержательная часть математики, происходят не из самого сознания, а из отражаемой им реальности. Как-то так.

RawonaM · февраля 28, 2011, 16:26

Спасибо огромное!

RawonaM · февраля 28, 2011, 16:28

Так а все-таки, в чем разница между линейными пространствами и пространствами со скалярным произведением?

Квас · февраля 28, 2011, 16:33

Цитата: RawonaM от февраля 28, 2011, 16:26
Спасибо огромное!

Да не за что.

Мне даже неудобно, что они исписанные и отфотканные к тому же.

Цитата: RawonaM от февраля 28, 2011, 16:28
Так а все-таки, в чем разница между линейными пространствами и пространствами со скалярным произведением?

Линейное пространство — это множество, на котором заданы две операции: сложение и умножение на элементы некоторого поля. Вещественное линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым. То есть на евклидовых пространствах заданы три операции, и их геометрия богаче. В частности, в евклидовых пространствах определено понятие длины вектора и угла между векторами (в общих линейных пространствах эти понятия не имеют смысла).

Комплексное пространство со скалярным произведением называется унитарным.

Последняя методичка и посвящена евклидовым и унитарным пространствам.

RawonaM · февраля 28, 2011, 16:37

Цитата: Квас от февраля 28, 2011, 16:33
Линейное пространство — это множество, на котором заданы две операции: сложение и умножение на элементы некоторого поля. Вещественное линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым.

А скалярное произведение — это не произведение между векторами и не умножение на элементы поля? Запутался.

Квас · февраля 28, 2011, 16:42

Цитата: RawonaM от февраля 28, 2011, 16:37
А скалярное произведение — это не произведение между векторами и не умножение на элементы поля? Запутался.

Два вектора перемножаются, получается число. В элементарной геометрии определяется как произведение длин векторов на косинус угла между между ними.

RawonaM · февраля 28, 2011, 16:47

А, теперь ясно. Ну что ж, будем зубрить. Хотя я и так во всю

Тайльнемер · марта 1, 2011, 08:23

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:21
Ну вот с комплексами не все так просто, там еще есть модули и те что с палкой сверху, забыл как называются. А еще тригометрическое представление через косинусисинус, неинтуитивно.

Неужели у вас в курсе нет геометрического представления комплексных чисел?
Описанные вами понятия становятся совершенно интуитивными и простыми в геометрическом представлении.

Представьте себе координатную плоскость с осями x и y. Комплексным числом x+iy называется вектор на этой плоскости с координатами (x, y), (т. е. начало стрелочки исходит из точки (0, 0), конец — в точке (x, y)).
Сложение комплексных чисел — это сложение векторов, умножение на действительное число — умножение вектора на скаляр.
Модуль комплексного числа — это длина вектора (по теореме Пифагора $[tex]|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]$ ).
«Палка сверху» — комплексносопряжённое число — это отражение вектора относительно оси x (вещественной оси; ось y называют мнимой осью): $[tex]\overline{x+iy}=x-iy[/tex]$ .

Тригонометрическое представление — это запись комплексного числа через его модуль и угол между положительным направлением действительной оси и направлением вектора (этот угол называется аргументом комплексного числа; как обычно, он положителен при вращении против часовой стрелки от оси и отрицателен — по часовой):

Из определения синуса и косинуса ясно, что Re z = |z| cos arg z, Im z = |z| sin arg z.
Нахождение аргумента числа: arg (x+iy) = arctg (y/x).
В таком представлении легко умножать комплексные числа. Чтобы умножить два числа, надо умножить их модули, а аргументы — сложить:
Если c = a∙b, то |c| = |a|∙|b|; arg c = arg a + arg b.

Вспоминая, что e^it = cos t + i sin t, получаем ещё одно удобное представление комплексного числа:
z = |z| e^{i argz}.
Как возвести комплексное число в степень? $[tex]z^t = (|z|e^{i\arg z})^t = |z|^t e^{i t\arg z}[/tex]$ .

Цитата: RawonaM от февраля 27, 2011, 23:49
$[tex]f^{-1}(x)[/tex]$ - обратная к f или 1/f?

$[tex]\frac 1 {f(x)}[/tex]$ обычно записывают как $[tex]\left( f(x) \right) ^{-1}[/tex]$ .
Запись типа $[tex]\sin ^2 x[/tex]$ для $[tex](\sin x)^2[/tex]$ — это, скорее, исключение, используемое только в тригонометрии, чем правило для всех функций.

RawonaM · марта 1, 2011, 13:02

Цитата: Тайльнемер от марта 1, 2011, 08:23
Неужели у вас в курсе нет геометрического представления комплексных чисел?
Описанные вами понятия становятся совершенно интуитивными и простыми в геометрическом представлении.

Есть такое представление, но все-равно неинтуитивно.

RawonaM · марта 1, 2011, 13:18

Насколько я понимаю, единственная цель и профит от такого представления — возможность найти корни показательного уравнения. В остальных случаях обычное представление a-bi предпочтительнее. Или я ошибаюсь?

Тайльнемер · марта 1, 2011, 14:25

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 13:02
но все-равно неинтуитивно

А что именно вызывает у вас трудности?

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 13:18
Насколько я понимаю, единственная цель и профит от такого представления — возможность найти корни показательного уравнения. В остальных случаях обычное представление a-bi предпочтительнее. Или я ошибаюсь?

Да, возможно, что в алгебре это и не пригодится вообще. Это в комплексном анализе в основном, вроде, используется.

Хотя в алгебре тоже. Например, группа корней из единицы, там...

RawonaM · марта 1, 2011, 14:31

Цитата: Тайльнемер от марта 1, 2011, 14:25
Цитироватьно все-равно неинтуитивно
А что именно вызывает у вас трудности?

Да вроде трудностей не вызывает, кроме обычных трудностей с тригонометрией.
Неинтуитивно не значит вызывает трудности.

Скорее непонятна логика, побудившая сделать такое обозначение. Например, R² тоже можно так представить. Будет от этого какой-нибудь профит?

Тайльнемер · марта 1, 2011, 14:48

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 14:31
Например, R² тоже можно так представить. Будет от этого какой-нибудь профит?

Будет полярная система координат — полезная вещь.

RawonaM · марта 1, 2011, 14:53

Цитата: Тайльнемер от марта 1, 2011, 14:48
ЦитироватьНапример, R² тоже можно так представить. Будет от этого какой-нибудь профит?
Будет полярная система координат — полезная вещь.

Ну мне на данном этапе развития как математика — бесполезна

Квас · марта 1, 2011, 16:56

Складывать и вычитать проще в алгебраической форме, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни — в тригонометрической.

RawonaM · марта 1, 2011, 17:00

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 16:56
Складывать и вычитать проще в алгебраической форме, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни — в тригонометрической.

Нет в жизни счастья

Квас · марта 1, 2011, 17:14

RawonaM, вы как-то чересчур ответственно подходите к комплексным числам. :)Там и теории толком нет: корни умеете извлекать — всё, большего не требуется. И тригонометрии там никакой нет.

Тайльнемер · марта 1, 2011, 17:16

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 17:00
Нет в жизни счастья

Да почему же? Наоборот, есть: хотите — умножайте в алгебраической форме, хотите — в тригонометрической. И то и другое несложно.

Лингвофорум

Линейная алгебра

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Тайльнемер

RawonaM

RawonaM

Тайльнемер

RawonaM

Тайльнемер

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

Тайльнемер

Быстрый ответ