Линейная алгебра

[RawonaM]

Вопрос номер 3:
Дано некое пространство V. Доказать, что T: V->V не равно cI (с константа) iff существует вектор v (не 0) так что {v, T(v)} линейно независима.

Совершенно банально и очевидно, похоже на какую-то тренировку в доказательствах. А с этим во время экзамена не просто

В первую сторону: допустим даны {v, T(v)} и они линейно независимы.
Это значит что в av+bT(v)=0 обязательно а=b=0.
Значит не может быть T(v)=cv, иначе было бы c=-a/b и векторы линейно зависимы.

Во вторую сторону: дана трансформация .
...
Короче, тут я уже забыл как я точно сделал, боюсь что тут тоже мог ошибиться в доказательстве.
В общем, будь что будет.

Поехали дальше.

[RawonaM]

При а=0 ранг матрицы 2, т.е. геометрическая кратность нуля один, а алгебраическая два, поэтому недиагонализинуема.

Комплексные a допускаются? Если да, то при она тоже недиагонализируема (когда 2 является двойным корнем). При всех остальных диагонализируема.

Так сказано же матрица над С.
Да, вот этот момент я не учел, а времени проверить уже не было.
Ну что ж, тут уже баллов так 10 потерял.
Хотя не знаю сколько снимут за это.

[RawonaM]

Вопрос номер 2:
Пусть будет V л. пространтсво и будет В подмножество V не содержащее нулевого вектора.
Доказать, что оба следующих условия эквивалентны:
1) В — базис V.
2) Для любого подмножества верно что .

Очень банальное, но нудное доказательство и сколько там прибавят или отбавят один иегова ведает. Даже нечего тут и расписывать. Все чисто банальные вещи, только доказывать надо уметь. Это совершенно очевидно и никакой теоретической ценности не представлят.

[Квас]

Дано некое пространство V. Доказать, что T: V->V не равно cI (с константа) iff существует вектор v (не 0) так что {v, T(v)} линейно независима.

Это к нашему давнишнему разговору о прямой сумме подпространств. Линейная зависимость в данном случае означает, что либо v — собственный вектор, либо v=0. Если все векторы пространства собственные, то и собственное значение для них одно, т. е. оператор имеет вид cI.

[RawonaM]

И последний сделанный мною вопрос (номер 1), который вроде простой, но скушал кучу моих серых клеток:

1) Даны симметричные матрицы A и B размером n.
  а) Доказать, что АВ-ВА антисимметрична.
  б) Доказать, что если AB-BА невырожденная, то n четно.
2) Доказать, что любая квадратная матрица размером n с рангом k подобна матрице c n-k столбцов нулей.

1а) Проблемы не представляет

1b) Не осилил.
2) Над этим долго думал и только за 10 минут до окончания меня осенило, написал по быстрому, не знаю что из этого вышло.
Примерно за пять минут я успел написать следующее:
Возьмем матрицу A^T и произведем над ней элементарные операции так, что получим k строк нулей.
Возьмем матрицу I и произведем над ней те же самые операции и будет это матрица M.
Тогда выходит, что MA^T=B, где B некая матрица с k строк нулей.
Затранспонируем обе стороны:
AM^T=B^T
Получается матрица с к столбцов нулей. Подомжножим это все слева на матрицу (M^T)^-1:
(M^T)^-1AM^T=(M^T)^-1B^T
Получается справа у нас матрица B^T к которой применили некоторые элементарные операции. Но элементарные операции не меняют количества столбцов с нулями, поэтому у нас в итоге получилась некоторая матрица с k столбцов нулей и она подобна А (по формуле).

Фуф. Одним словом: извращение По дороге домой меня посетила мысль, как нужно было этот пункт решать, что было бы намного проще, но я уже забыл опять.

[RawonaM]

Дано некое пространство V. Доказать, что T: V->V не равно cI (с константа) iff существует вектор v (не 0) так что {v, T(v)} линейно независима.

Это к нашему давнишнему разговору о прямой сумме подпространств. Линейная зависимость в данном случае означает, что либо v — собственный вектор, либо v=0. Если все векторы пространства собственные, то и собственное значение для них одно, т. е. оператор имеет вид cI.

Да я знаю, я все тут прекрасно понимаю. Я эту трансформацию еще обмял со всех сторон в связи с ромашковым чаем.

[RawonaM]

Пентый вопрос был такой:
1) Доказать, что ортогональная треугольная матрица — диагональна.
2) Дать пример линейной трансформации из Rn в Rn, так что пересечение ядра и образа нулевое, при этом kerT={(x1,x2,...,xn)|x1+x2+...+x_n-2=0}

1) Безнадега, можно было все время на это убить. Или знаешь ответ заранее или не берись.
2) Довольно просто должно быть, но большое поле для запутывания. Хотя какбе особых проблем не вижу. На лету подумал, что образ должен быть Sp{(1,1,1,1...1,0,0)}, ну соответственно остальное ядро, т.е. всего лишь найти дополнение к Sp{(1,1,1,1...1,0,0)} и загнать его в ноль.

Браться не стал, потому что пункт 1 нерешаемый. Сейчас думать не охота.

[Квас]

1b) Неосилил.

Всякая кососимметричная матрица нечётного порядка вырождена. Потому что



(потому что минус выносится из каждой строки). Если n нечётно, получаем

Одним словом: извращение

Нет, это Извращение с большой буквы. Вроде на первый взгляд проходит, хотя надо повнимательней перечитать. А делается так: рассматриваем оператор с этой матрицей. У него ядро (n-k)-мерное. Выбираем базис ядра, дополняем до базиса пространства и записываем матрицу оператора в этом базисе. Voilà !

[RawonaM]

А делается так: рассматриваем оператор с этой матрицей. У него ядро (n-k)-мерное. Выбираем базис ядра, дополняем до базиса пространства и записываем матрицу оператора в этом базисе. Voilà !

Да, вот именно так я это и подумал, когда автобуса домой ждал
Честное пионерское

[RawonaM]

Всякая кососимметричная матрица нечётного порядка вырождена. Потому что



(потому что минус выносится из каждой строки). Если n нечётно, получаем

А-а-а. А я же это когда-то знал. По-моему в книге где-то доказательство есть.

[RawonaM]

Нет, это Извращение с большой буквы.

Ага Интересно, что больше, добавка за изобретательность и отбавка за то, что не знал наиправильный путь? 

[Квас]

1) Доказать, что ортогональная треугольная матрица — диагональна.

Можно воспользоваться тем, что скалярные произведения столбцов равны 0. В первом столбце единственный ненулевой элемент (матрица невырождена!), поэтому в первой строчке все нули, кроме первого; тогда во втором столбце единственный ненулевой элемент — второй, и во второй строчке все нули, кроме второго унд зо вайтер.

[RawonaM]

Quasus, j'ai une nouvelle pour toi: je vais m'enregistrer au cours de l'algèbre linéaire II en été. 

http://www-e.openu.ac.il/courses/20229.htm

[Квас]

C'est formidable ! Je vais chercher des manuels d'algebre en français.

[RawonaM]

Très bien Je crois que pour la terminologie le Wiki est assez