Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Линейная алгебра

Автор RawonaM, февраля 24, 2011, 22:03

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

RawonaM

Посмотрел первую лекцию Стрэнга по собственным значениям и векторам — супер! Конечно, у него в голове это все какая-то одна большая связанная теория, из чего он выбирает что в данный момент сказать, но польза от прослушивания такой лекции несоизмерима. Может все прослушаю.

По-моему это самое сложное из всего моего материала, айгенвекторы-таки.

RawonaM

Вам может понравятся их доски из MIT :) Такого количества досок в одной аудитории я не видел :)

Квас

Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 23:19
По-моему это самое сложное из всего моего материала, айгенвекторы-таки.

Думаю, да. Они как-то неинтуитивно появляются в курсе, мотивировки маловато. Смысл-то простой: те векторы, которые оператор растягивает. Но сразу непонятно, почему их нужно специально изучать. С годами привыкаешь, конечно...
Пишите письма! :)

Квас

Цитировать
In linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable.

Почему-то раньше не заметил. Следующее за этим моё сообщение смотрится странно. :-\
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта  4, 2011, 23:23
ЦитироватьПо-моему это самое сложное из всего моего материала, айгенвекторы-таки.
Думаю, да. Они как-то неинтуитивно появляются в курсе, мотивировки маловато. Смысл-то простой: те векторы, которые оператор растягивает. Но сразу непонятно, почему их нужно специально изучать. С годами привыкаешь, конечно...
И много чего не говорят или недостаточно подчеркивают важность. Например, из лекции я узнал, что сумма диагонали равна сумме собственных значений, что детерминанта равна перемножению собственных значений, что если добавить к диагонали какое-то число, то собственные значения увеличатся на это число и т.п. Что недотягивающие размерности собственных пространств — это потому что они уходят в воображаемую часть комплесных чисел и т.п.
Завтра буду вторую лекцию смотреть.

RawonaM

Посмотрел Flash-ролик про влияние степеней матриц и влияние на айгенвалью, так и не понял, что на самом деле происходит. Можете вкратце пояснить?
При увеличении степени матрицы умножение на вектор сходится в айгенвалью оригинальной матрицы?

Квас

Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 23:31
Например, из лекции я узнал, что сумма диагонали равна сумме собственных значений, что детерминанта равна перемножению собственных значений, что если добавить к диагонали какое-то число, то собственные значения увеличатся на это число и т.п.

Это всё для диагонализируемых операторов.

Матрица оператора диагональна тогда и только тогда, когда базис состоит из собственных векторов. Это, конечно, почти тавтология. Отсюда написанные вами свойства оказываются очевидными для диагональных операторов. Но определитель оператора и его след (сумма диагональных элементов матрицы) являются инвариантами, то есть не зависят от матричного представления.

Вопрос об инвариантах является важным. Один оператор можно задать разными матрицами в разных базисах, но у этих матриц есть общие свойства, которые характеризуют сам оператор. К их числу принадлежат, например, определитель, след, характеристический многочлен.

Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 23:31
Что недотягивающие размерности собственных пространств — это потому что они уходят в воображаемую часть комплесных чисел и т.п.

Не совсем верно. Если бы так и было, то на комплексном пространстве каждый оператор был бы диагонализируем. Однако это не так: в комлексном случае канонической формой является жорданова (блочно-диагональная с блоками специальной структуры).
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от марта  5, 2011, 08:55
Посмотрел Flash-ролик про влияние степеней матриц и влияние на айгенвалью, так и не понял, что на самом деле происходит. Можете вкратце пояснить?

Собственно, это скорее анализ, чем алгебра. В алгебре предельные переходы и прочая топология не рассматриваются.

Происходит вот что. Пусть A — диагонализируемый оператор, с матрицей в некотором базисе
[tex]A_e = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)[/tex]
Будем считать, что [tex]\lambda_1[/tex] — самое большое собственное значение. Имеем:
[tex]A^k_e = \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)[/tex]
и для любого вектора
[tex]\mathbf x = \xi_1 \mathbf e_1 + \ldots + \xi_n \mathbf e_n [/tex]
с [tex]\xi_1 \neq 0[/tex] получаем
[tex] A^k \mathbf x = \lambda_1^k \xi_1 \mathbf e_1 + \ldots + \lambda_1^k \xi_1 \mathbf e_n = \lambda_1^k \xi_1 \left( \mathbf e_1 + \frac{\xi_2}{\xi_1} \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^k \mathbf e_2 + \ldots +  \frac{\xi_n}{\xi_1} \left( \frac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^k \mathbf e_n\right)[/tex]
Согласно нашему предположению дроби [tex]\frac{\lambda_i}{\lambda_1}[/tex] по модулю меньше 1, поэтому в выражении в скобках все члены, кроме первого, стремятся к 0.

Если вдруг [tex]\xi_1 = 0[/tex], то вектор будет мотаться по инвариантному подпространству, натянутому на [tex]\mathbf e_2, \ldots ,\mathbf  e_n [/tex], и картина та же самая, только в пространстве меньшего числа измерений.

Но ещё раз скажу, что собственно к линейной алгебре это не относится.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта  5, 2011, 11:12
Но ещё раз скажу, что собственно к линейной алгебре это не относится.
Но все-равно же интересно :)

Квас

Цитата: RawonaM от марта  5, 2011, 11:25
Цитата: Квас от Сегодня в 12:12
ЦитироватьНо ещё раз скажу, что собственно к линейной алгебре это не относится.
Но все-равно же интересно :)

Это само собой. Всегда интересней, когда взаимодействие дисциплин. А здесь и выход на теорию динамических систем, и дифурами пахнет.
Пишите письма! :)

RawonaM

Если у двух матриц одинковый «типичный» полином, что можно о них сказать?

RawonaM

Выходит, что С над С — одномерное пространство, а С над R — двухмерное?

Квас

Цитата: RawonaM от марта  5, 2011, 12:14
Если у двух матриц одинковый «типичный» полином, что можно о них сказать?

Да вроде особо ничего. :donno: Мелочи всякие: след одинаковый, определитель одинаковый (это коэффициенты характеристического многочлена). Ничего более умного в голову пока не приходит.

Цитата: RawonaM от марта  5, 2011, 15:16
Выходит, что С над С — одномерное пространство, а С над R — двухмерное?

Совершенно верно.
Пишите письма! :)

RawonaM

Просмотрел за сегодня четыре лекции Стрэнга. Они никогда не записывает векторы горизонтально, вообще нигде и ни разу :)

RawonaM

То ли линейная алгебра это слишком легко, то ли я просто хорошо знал когда-то и теперь вспомнил, но в целом даже и вопросов нет, просто решаю и все. :donno:
Впрочем, как кончатся вопросы с ответами и надо будет решать без ответов, то наверное вопросы будут. А то даже обидно, что все понятно и нечего такого интересного обсудить. Наши беседы по анализу ведь вносили в большой клад в более глубокое теоретическое понимание.

RawonaM

Цитата: RawonaM от марта  1, 2011, 21:49
Нужно найти трансформацию [tex]T:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3[/tex], так чтобы ImT=Sp{(1,1,0)} и kerT=Sp{(0,1,1,0),(1,1,0,0)}.
Как к этому подходить? Я нашел просто методом тыка, но не пойму систему, как нужно такое решать. Метод тыка не всегда работает.
Какое легкое задание некий Равонам не мог решить еще неделю назад!
Квас, я поражаюсь вашему терпению, честное слово. :) Если бы преподаватели такими были...

Цитата: Квас от марта  4, 2011, 10:33
Больше нет. Раз все векторы собственные, то всё пространство является собственным подпространством оператора, соответствующим некоторому собственному значению a. Записав матрицу такого оператора в любом базисе, видим, что это оператор aI.
Получается, что айгенвальюз дробят пространство на непересекающиеся подпространтва и только в том случае, когда есть одно айгенвалью, подпространтво одно и совпадает с надпространтвом, слелвательно любой вектор попадает под айгенвалью.

Квас

Цитата: RawonaM от марта  9, 2011, 14:32
То ли линейная алгебра это слишком легко, то ли я просто хорошо знал когда-то и теперь вспомнил, но в целом даже и вопросов нет, просто решаю и все.

Я думаю, это действительно легко для человека, который разобрался. :yes: Если решать будет нечего, можете задачник Кострикина посмотреть. Там технических задач сравнительно мало, зато много интересных.

Цитата: RawonaM от марта  9, 2011, 17:47
Цитата: Квас от Март  4, 2011, 11:33
ЦитироватьБольше нет. Раз все векторы собственные, то всё пространство является собственным подпространством оператора, соответствующим некоторому собственному значению a. Записав матрицу такого оператора в любом базисе, видим, что это оператор aI.
Получается, что айгенвальюз дробят пространство на непересекающиеся подпространтва и только в том случае, когда есть одно айгенвалью, подпространтво одно и совпадает с надпространтвом, слелвательно любой вектор попадает под айгенвалью.

Вы хотели сказать «прямая сумма». ;) Любые два подпространства содержат нулевой вектор, то есть пересекаются. Но импликация «собственное значение одно» ⇒ «любой ненулевой вектор является собственным» не верна. Контрпример — поворот в пространстве вокруг оси на pi/2.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта  9, 2011, 18:55
Вы хотели сказать «прямая сумма». ;) Любые два подпространства содержат нулевой вектор, то есть пересекаются.
Ну я имею в виду что "не пересекаются" в смысле кроме нуля. :)

Цитата: Квас от марта  9, 2011, 18:55
Но импликация «собственное значение одно» ⇒ «любой ненулевой вектор является собственным» не верна. Контрпример — поворот в пространстве вокруг оси на pi/2.
Нет, еще же должно быть что геометрическая кратность равняется размерности пространства, иначе нет смысла говорить. Я какбы только диагонализируемые подразумевал :)


Квас

Мне и так кажется, что вам всё понятно, так хотя бы к словам попридираться. ;D
Пишите письма! :)

RawonaM

Попридирайтесь, это хорошо развивает мозги, когда все уже понятно :) Вот когда непонятно, тогда может только запутать :)

Квас

Да кстати, я и неточно прочитал по обыкновению. У вас же чёрным по голубому было написано: «собственное подпространство совпадает с пространством».
Пишите письма! :)

Bhudh

Offtop
Цитата: Квасзадачник Кострикина
Обнаружил классную опечатку:
Цитировать§ II. Гипреповерхности второго порядка
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Квас

Хорошо не на обложке. :)
Цитата: Довлатов
 Тогда Фима продал  часть  своей  уникальной  библиотеки. На  вырученные деньги он переиздал сочинение Фейхтвангера  «Еврей  Зюсс».  Это был странный выбор для издательства под названием  «Русская книга». Фима предполагал, что еврейская тема заинтересует нашу эмиграцию.
 Книга вышла с единственной опечаткой. На обложке было  крупно выведено: «ФЕЙХТВАГНЕР».

Кстати, гугл находит много «Фейтвагнеров».
Пишите письма! :)

RawonaM

Пару дней не позанимался, сразу чувствуется забывание :) Боюсь, что до 31-го числа все забуду. Надо неделю до экзамена сидеть только над этим предметом.

Хотя конечно теорвер и логика выковыривают мозки тоже неплохо.

Вопрос: набор решений для уравнения Ах=b (негомогенное) — пространство или нет?

Квас

Цитата: RawonaM от марта 12, 2011, 20:16
Вопрос: набор решений для уравнения Ах=b (негомогенное) — пространство или нет?

Неоднородное.

Как надо такие задачи решать? Сначала рассмотреть очень простую систему (можно из одного уравнения с одним неизвестным). И если два-три примера показывают, что пространство, тогда попробовать доказать это.
Пишите письма! :)

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр