Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Линейная алгебра

Автор RawonaM, февраля 24, 2011, 22:03

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

RawonaM

Ну что, начнем? :)

Вспоминать забытое оказалось совсем не легко...

Две нерешенные задачки пока что.

1) Даны квадратные матрицы А и B, известно что A=I-AB.
Трябва доказать, что B3=0 iff А=I-B+B2.
Как вообще к этому подходить? Просто крутить пока че-нить не выйдет?..

2) Даны квадратные матрицы А и В, нужно доказать, что если AB-I невырожденная матрица, то BA-I тоже невырождена.

Особенно тяжело вспомнить какие свойства относятся ко всем матрицам, а какие к регулярным...

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 24, 2011, 22:03
Ну что, начнем? :)

Начнём, пожалуй!

Цитата: RawonaM от февраля 24, 2011, 22:03
Как вообще к этому подходить? Просто крутить пока че-нить не выйдет?..

В принципе, да. Это задачи, скорее, на абстрактную алгебру: то, что матрицы — это таблицы с числами, никак не используется, а важны только алгебраические операции и их свойства. Когда надоест крутить, читайте спойлер. :)

Цитата: RawonaM от февраля 24, 2011, 22:03
Особенно тяжело вспомнить какие свойства относятся ко всем матрицам, а какие к регулярным...

Это какие такие «регулярные»? Мне кажется, со свойствами там несложно.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от февраля 24, 2011, 22:33
Это задачи, скорее, на абстрактную алгебру: то, что матрицы — это таблицы с числами, никак не используется, а важны только алгебраические операции и их свойства.
Да, но для матриц они же определены не так, как для чисел.

Цитата: Квас от февраля 24, 2011, 22:33
ЦитироватьОсобенно тяжело вспомнить какие свойства относятся ко всем матрицам, а какие к регулярным...
Это какие такие «регулярные»? Мне кажется, со свойствами там несложно.
Регулярные — это невырожденые. :) Ну надо помнить например, что для регулярных матриц умножение коммутативно, а для других нет, да и каждое действие помнить. Например, ассоциативность — для регулярных или для всех? По-моему для всех.

Тайльнемер

Цитата: RawonaM от февраля 24, 2011, 23:01
Регулярные — это невырожденые.  ... для регулярных матриц умножение коммутативно...
Для невырожденных матриц умножение некоммутативно.

RawonaM

Дейвтительно. Я похоже имел в виду, что если А невырождена и AB=I, то BA=I.

RawonaM

Появился вопрос, чисто глубоко-теоретический.

Каково отношение линейного пространтва и поля, над которым оно строится?..
Ничего не пойму. Почему R пространство над Q?!!  :what:

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 20:58
Появился вопрос, чисто глубоко-теоретический.

Каково отношение линейного пространтва и поля, над которым оно строится?..

Глубоко-теоретический ответ: теоретико-категорное!

А можете пояснить вопрос?

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 20:58
Почему R пространство над Q?!!  :what:

На R определены операции сложения и умножения на элементы Q, аксиомы линейного пространства выполнены, поэтому это линейное пространство. Бесконечномерное, кстати.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от февраля 25, 2011, 21:05
ЦитироватьПочему R пространство над Q?!!  :what:
На R определены операции сложения и умножения на элементы Q, аксиомы линейного пространства выполнены, поэтому это линейное пространство. Бесконечномерное, кстати.
Почему же оно бесконечномерное? Совсем запутали. Я так понимаю, что R над R — одномерное пространство. R^2 над R — двухмерное.

Цитата: Квас от февраля 25, 2011, 21:05
Цитировать
Каково отношение линейного пространтва и поля, над которым оно строится?..
Глубоко-теоретический ответ: теоретико-категорное!

А можете пояснить вопрос?
Наверное не могу. Ну я бы ожидал услышать что-то типа такого: поле — это то, откуда берутся элементы векторов.  :donno: Надо наверное просто дальше читать, потом утрясется.

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 24, 2011, 23:01
Цитата: Квас от Вчера в 23:33
ЦитироватьЭто задачи, скорее, на абстрактную алгебру: то, что матрицы — это таблицы с числами, никак не используется, а важны только алгебраические операции и их свойства.
Да, но для матриц они же определены не так, как для чисел.

Существуют самые разные математические структуры, на которых определены бинарные операции. Абстрактная алгебра изучает бинарные операции вне зависимости от природы объектов, интересуясь только свойствами операций. Удивительно, что операции с объектами самой разной природы часто имеют схожие свойства.

По сложению матрицы фиксированного размера образуют абелеву группу:
1) Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
2) Существование нейтрального элемента: A + 0 = A = 0 + A
3) Существование обратного элемента: A + (- A) = 0 = (-A) + A
4) Коммутативность: A + B = B + A

Самое главное из этих свойств — ассоциативность. Она имеет место во всех приличных алгебраических структурах. Неассоциативная алгебра — это уже круто.

Первые три свойства — аксиомы группы. Группы — самые «хорошие» объекты с одной операцией. А если есть и коммутативность (тогда группа называется абелевой), то вообще праздник.

Короче говоря, сложение матриц обладает в точности теми же свойствами, что сложение чисел.

С умножением похуже. Предположим, что рассматриваем квадратные матрицы фиксированного порядка. Тогда
1) Ассоциативность: (AB)C = A(BC)
2) Существование нейтрального элемента: AI = A = IA

И всё... Это не группа, а всего-навсего моноид (два свойства выше и определяют моноид). Впрочем, умножение чисел только чуть лучше: оно коммутативно. Умножение же матриц порядка >= 2 некоммутативно (хотя, конечно, можно привести примеры коммутирующих матриц, то есть таких, что AB = BA).

Значит: умножение матриц отличается от умножения чисел только отсутствием коммутативности.

У матриц есть замечательное свойство, которое вы уже писали: если AB = I, то матрицы A и B обратимы и являются обратными друг для друга. Для произвольных моноидов это неверно.

Напомню ещё, что матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденна, то есть её определитель отличен от 0. Конечно, это уже не абстрактная алгебра.

Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
(A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC
То же, что и у чисел, только в двух формах из-за некоммутативности умножения. Благодаря дистрибутивности квадратные матрицы образуют кольцо с единицей. Значение дистрибутивности трудно переоценить: благодаря ей мы имеем не две независимые алгебраические структуры, которые «ничего не знают» друг о друге, а одну более сложную структуру — кольцо.

Для неквадратных матриц умножение обладает теми же свойствами (если произведения определены). Конечно, говорить об обратной матрице для них не имеет смысла.
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:13
Наверное не могу. Ну я бы ожидал услышать что-то типа такого: поле — это то, откуда берутся элементы векторов.  :donno: Надо наверное просто дальше читать, потом утрясется.

Нет-нет! Поле само по себе, векторы сами по себе. Связь та, что векторы можно умножать на скаляры (конечно, нужно, чтобы свойства выполнялись, но это в большинстве случаев очевидно). Если элементы множества можно складывать и умножать на числа — считайте, что линейное пространство имеется. Например, непрерывные на [a,b] функции можно складывать (поточечно: (x + y)(t) = x(t) + y(t)) и умножать на числа (тоже поточечно: (сx)(t) = сx(t)), свойства выполнены, voilà : C[a,b] — линейное пространство непрерывных функций.

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:13
Почему же оно бесконечномерное? Совсем запутали. Я так понимаю, что R над R — одномерное пространство. R^2 над R — двухмерное.

Absolument. А R над Q бесконечномерное. ;D Это значит, что существуют линейно независимые системы из любого числа векторов. Ладно, предлагаю пока отложить вопрос о размерности этого пространства. :)
Пишите письма! :)

Квас

Был бы сканер под рукой, я бы вам методичек отсканировал... У нас были классные методички по алгебре. Надо у студентов поспрошать, может есть у кого в электронном виде.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от февраля 25, 2011, 21:29
ЦитироватьНаверное не могу. Ну я бы ожидал услышать что-то типа такого: поле — это то, откуда берутся элементы векторов.  :donno: Надо наверное просто дальше читать, потом утрясется.
Нет-нет! Поле само по себе, векторы сами по себе. Связь та, что векторы можно умножать на скаляры (конечно, нужно, чтобы свойства выполнялись, но это в большинстве случаев очевидно).
То есть, единственная связь между полем и пространством — это то, что скаляры берутся из поля? Получается, что любое поле — пространство над неким другим полем, если определено умножение элементов этих полей?

RawonaM

Цитата: Квас от февраля 25, 2011, 21:31
Был бы сканер под рукой, я бы вам методичек отсканировал... У нас были классные методички по алгебре. Надо у студентов поспрошать, может есть у кого в электронном виде.
А фотика нету?
У меня есть книга "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", Ильин и Ким, МГУ. Это годный учебник?

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:41
То есть, единственная связь между полем и пространством — это то, что скаляры берутся из поля?

Ага.

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:41
Получается, что любое поле — пространство над неким другим полем, если определено умножение элементов этих полей?

Ну да, если свойства выполнены. При этом об умножении в том поле, которое векторы, надо забыть: в линейном пространстве две операции.

Например, поле является линейным пространством над любым своим подполем.
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:42
"Линейная алгебра и аналитическая геометрия", Ильин и Ким, МГУ.

Не читал.

Годный учебник — это трёхтомник Кострикина, но это многовато даже для студента — математика. Хотя его древнее издание было однотомным... Что там ещё по алгебре? :-\ Я-то учил по методичкам, а потом по Кострикину. Учебников-то много, да боишься предлагать, что сам не знаешь. Я посоображаю ещё.

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:42
А фотика нету?

Надо попробовать.
Пишите письма! :)

RawonaM

А может быть пространтво, которое не поле?
Т.е., определение пространства от поля отличается только тем, что в пространстве вместо умножения между своими собственными элементами требуется умножение между элементом и скаляром. Является ли второе достаточным условием для первого?

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:56
А может быть пространтво, которое не поле?

Конечно, они все, как правило, и не являются полями. Например,
[tex]\mathbb R^2[/tex] или вообще [tex]\mathbb R^n[/tex].

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:56
Т.е., определение пространства от поля отличается только тем, что в пространстве вместо умножения между своими собственными элементами требуется умножение между элементом и скаляром.

Именно так. Ну и свойства, конечно, разные требуются. Например, в поле каждый ненулевой элемент должен обладать обратным, а в аксиомах линейного пространства это не имеет аналога.

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 21:56
Является ли второе достаточным условием для первого?

Не является. Более того, если элементы линейного пространства можно умножать друг на друга (получая элементы этого же пространства), и если это умножение определённым образом согласовано с линейной структурой, то такой объект имеет специальное название — алгебра. Классический пример — алгебра квадратных матриц.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 10:18
Дейвтительно. Я похоже имел в виду, что если А невырождена и AB=I, то BA=I.
Я вот тут глянул... а может быть что А и В вырождены и АВ=I?

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 22:08
Цитата: RawonaM от Сегодня в 11:18
ЦитироватьДейвтительно. Я похоже имел в виду, что если А невырождена и AB=I, то BA=I.
Я вот тут глянул... а может быть что А и В вырождены и АВ=I?

Не может. Виноват определитель.
1 = det I = det AB = det A det B.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от февраля 25, 2011, 22:06
ЦитироватьЯвляется ли второе достаточным условием для первого?
Не является. Более того, если элементы линейного пространства можно умножать друг на друга (получая элементы этого же пространства), и если это умножение определённым образом согласовано с линейной структурой, то такой объект имеет специальное название — алгебра. Классический пример — алгебра квадратных матриц.
Алгебра — это гибрид пространтсва и поля?..  :what:

RawonaM

Цитата: Квас от февраля 25, 2011, 22:10
Цитировать
ЦитироватьДейвтительно. Я похоже имел в виду, что если А невырождена и AB=I, то BA=I.
Я вот тут глянул... а может быть что А и В вырождены и АВ=I?
Не может. Виноват определитель.
1 = det I = det AB = det A det B.
Ага, спасибо. Я пытался это понять с другой стороны. Если умножение слева на обратимую матрицу эквивалентно совершению элементарных операций над строками... А если на необратимую, то непонятно. Запутался короче :)

Квас

Цитата: RawonaM от февраля 25, 2011, 22:14
Если умножение слева на обратимую матрицу эквивалентно совершению элементарных операций над строками... А если на необратимую, то непонятно. Запутался короче :)

Мне кажется, что в принципе это решение можно добить до конца.

Методички завтра при дневном свете пофоткаю.
Пишите письма! :)

RawonaM

Спасибо, благодаря вам мне стало понятно все это дело. :) Пока что понятно  ;D

Квас

Линейная алгебра — классная наука. Помню студенческие впечатления: либо ничего не понятно, либо всё очевидно. Третьего не дано. :) Моя любовь, вообще-то... Ну и из-за преподавателя, конечно. Я у него потом диплом писал.
Пишите письма! :)

RawonaM

Мне больше нравится, чем инфи :) Я почему-то с самого начала инфи не взлюбил. Ну чуть-чуть так не взлюбил, все-таки математика это одна из моих страстей с детства, но как-то получилось так, что по стечению обстоятельство другая страсть победила... :)

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр