Введение: Теория множеств (упрощенная для филолухов)

[arseniiv]

Всё равно изоморфизма не усматриваю.

[Rusiok]

У меня внутреннее несогласие с общепринятой теорией множеств, это психологически мешает изучать её.

⊂ не операция, а отношение

Я бы предпочел теорию, в которой операция и отношение, элемент и множество - это одно и то же. И даже чтобы каждый элемент был операцией. Или объясните мне, какие такие блестящие возможности даёт различие операций от отношений, элементов от множеств. Я читал о парадоксах и не понимаю, что в них плохого. Всё равно единая классификация всего невозможна. Никаких "обычных" множеств, которые не включают себя в качестве элемента — реально не существует. Это ложная идея. Множества и его элементы - это одно и то же.

{∅} - непустое множество, множество элементом которого является пустое множество.

Я бы предпочёл более очевидную аксиому в основе теории, чтобы {∅} было пустым множеством.

Мы же не уявляем множество как реальный "пакетик", "коробочку" для элементов, как-то равноправную реальному элементу. Мы объединяем элементы в множество лишь в уме, это идея. Математика не должна рассматривать "идеи". Не так ли? Например, идея нуля, пустого множества - это не нечто реальное. То есть выражения "A — пустое множество" и "А не существует" — это одно и то же.

Аналогично не существует актуальной бесконечности. "Множество множеств" - это не нечто реальное, а абстракция, то есть идея. Идеи не должны быть предметом математики, оставим их психологам.

[Agabazar]

Если в языке конечное множество слов

Но это множество может сколь угодно расширяться. Границ (пределов) этого множества как будто нет.

[Agabazar]

Если в языке конечное множество слов,...

...то предложений таки бесконечное множество.

Язык существует (существовал) не сам по себе, а через своих носителей (в случае мёртвого языка — через своих бывших носителей).
Каэждый носитель в течение своей жизни произносит и прописывает конечное число как слов, так и предложений.

Число же носителей любого языка — конечно. Следовательно, ни количество  слов, ни количество  предложений в любом  языке не может быть бесконечным. 

Не произнесённые и не прописанные «потенциальные»  слова и предложения —  не в счёт.

[Bhudh]

Есть и формальные языки с конечным числом термов, под словом "язык" разумеются не только естественные.

[злой]

Идеи не должны быть предметом математики, оставим их психологам.

Представил, как Светлана-ханум смеётся в голос

Большая часть современной математики - это как раз работа с "идеями", мало совпадающими с реальностью. В качестве простого примера: сначала математики декларируют, что из минус единицы нельзя извлечь корень, а затем придумывают понятие "корень из минус единицы", и начинают активно им пользоваться.

[Agnius]

 Вот вам задачка по теории множеств - верно ли, что в пустой коробке конфет каждая конфета шоколадная? 

[Agabazar]

Есть и формальные языки с конечным числом термов, под словом "язык" разумеются не только естественные.

Так называемые литературные (стандартные, нормированные) языки тоже вполне конечные.

[Серый]

Я бы предпочел теорию, в которой операция и отношение, элемент и множество - это одно и то же.

Тогда как раличать такие явления как операция и отношение, элемент и множество?
В теории операция это частный случай отношений. А элемент легко можно определить как множество - множество состоящее из одного этого элемента.

Математика это исключительно идеи. Но идеи непротиворечивые - множество всех непротиворечивых идей, сводимых к теории множеств. Вот физику нельзя свести к теории множеств.

[Agabazar]

Тогда как раличать такие явления как операция и отношение, элемент и множество?

«Различение» — не самоцель.

объясните мне, какие такие блестящие возможности даёт различие операций от отношений, элементов от множеств.

[Agnius]

 А че никто задачку то не хочет решить 

[kemerover]

Я бы предпочел теорию, в которой операция и отношение, элемент и множество - это одно и то же.

Операция это подвид отношения, строго говоря. В операции xRy каждый элемент x соотносится лишь с одним другим элементом y, что может быть не верно для некоторых отношений. Если мы говорим про язык/запись, то зачастую просто удобно использовать особую запись для операций. Например, у нас есть операция/отношение S, которое означает, что какое-то натуральное число следует за другим натуральным числом. Мы можем просто написать S(1) и иметь в виду 2, даже не зная, что это 2, например.

Элемент и множество как одно и то же, тут непонятно, что имеется в виду. В современной теории множеств все элементы это множества (но на самом деле она так не используется, зачастую мы берём также берём ещё какие-то атомы (т.е. не-множества) как базовые элементы). Это просто странно считать число 10 или 536 множеством, хоть, как я сказал, современная теория множеств это позволяет. Также есть такой раздел математики как мереология. Там нет множеств как таковых, элементы просто являются частью чего-то большего.

Я читал о парадоксах и не понимаю, что в них плохого.

Парадокс это противоречие. Немного не понятен тезис. Что плохого думать в том, что Париж это столица Франции и в то же время не столица Франции? Что плохого думать, что в парадоксах нет ничего плохого и в то же время думать, что парадоксы это плохо? Это просто будет бессмыслицей, поэтому это и плохо.

Всё равно единая классификация всего невозможна.

Да, математики отошли от идеи единой классификации всего из-за парадоксов.

Никаких "обычных" множеств, которые не включают себя в качестве элемента — реально не существует. Это ложная идея. Множества и его элементы - это одно и то же.

Это вы действительно скорее про мереологию, получается. Не вижу в ней ничего плохого, но она оказалась не так удобной для построения современного математического фундамента.

Мы же не уявляем множество как реальный "пакетик", "коробочку" для элементов, как-то равноправную реальному элементу. Мы объединяем элементы в множество лишь в уме, это идея. Математика не должна рассматривать "идеи". Не так ли? Например, идея нуля, пустого множества - это не нечто реальное. То есть выражения "A — пустое множество" и "А не существует" — это одно и то же.

Математика рассматривает идеи, которые потом используются в реальной жизни. Например, я могу создать программу, которая будет брать слово / последовательность букв и возвращать множество всех гласных, которые там есть. Мне будет гораздо легче и удобнее принять, что есть пустые множества, и в случае отсутствия гласных возвращать именно пустое множество, чем считать, что в случае их отсутствия я возвращаю какой-то особый объект, ошибку или что-то ещё такое. Пусть в реальности там просто бегают какие-то электрические сигналы в компьютере, но если моя математическая модель 1-в-1 корректно описывают результат, который я ожидаю и имею, то это хорошая, правильная, жизненная модель. Так же как я могу взять 2 яблока и 3 яблока и вместе получить 5 яблок - ещё одна работающая математическая модель.

[Bhudh]

Если мы говорим про язык/запись, то зачастую просто удобно использовать особую запись для операций. Например, у нас есть операция/отношение S, которое означает, что какое-то натуральное число следует за другим натуральным числом. Мы можем просто написать S(1) и иметь в виду 2, даже не зная, что это 2, например.

Причём на разных множествах операция будет давать разные результаты. Если взять множество не натуральных, а нечётных чисел, результатом S(1) будет уже не 2, а 3.

[Agnius]

Укажите верно или ложно каждое из следующих утверждений:
   а) d ∉ {a, b, c}
   б) {a,b} ⊆ {b, c, a}
   в) {c} ∈ {a, b, c}
   г) {c} ⊆ {a, b, c}
   д) c ∈ {b, {c}}
   е) {c, b, a} ⊊ {a, b, c}
   ж) {c, b, a} ⋃ {a, b, c} ⋂ {c} = {d, c} - ({a,b,d}⋂{d, c})

Че то никто не решил 
 а) верно
Б) верно
В)неверно
Г) верно
Д) неверно
Е) неверно
Ж) неверно

[Andrey Lukyanov]

На экране значок ⊆ может быть трудно отличить от ⊊.

[Rusiok]

Например, я могу создать программу, которая будет брать слово / последовательность букв и возвращать множество всех гласных, которые там есть. Мне будет гораздо легче и удобнее принять, что есть пустые множества, и в случае отсутствия гласных возвращать именно пустое множество, чем считать, что в случае их отсутствия я возвращаю какой-то особый объект, ошибку или что-то ещё такое.

Так значит, множество — это просто обозначение "результата решения"? Причём результата неупорядоченного и только для элементов, измеряемых штуками?

Вводить обозначение результата решения часто полезно. Это как выделять подпрограмму в программе. Пока решается подпрограмма (иногда решается веками, как какие-то великие теоремы существования), в это время решается основная программа.

Что плохого думать в том, что Париж это столица Франции и в то же время не столица Франции?

Это хорошо так думать, ведь никогда нет однозначности. Не всегда была Франция, и не всегда центром принятия решений во Франции был Париж. Да и сейчас, для Франции, как члена Евросоюза и других организаций, многие решения принимаются не в Париже. Да и Париж не сводится к функции столицы.

И так - чего не коснись. Парадоксы — это нормально и приемлимо.

Элемент и множество как одно и то же, тут непонятно, что имеется в виду.

Я не понимаю необходимости различать знаки ∈ и ⊂, э и ⊃. Миллиарды школьников зачем-то мучают разницей (с сопутствующими обвинениями в ошибках, снижением оценок и возможно поломанными судьбами из-за несдачи тестов и экзаменов), хотя

В современной теории множеств все элементы это множества

В операции xRy каждый элемент x соотносится лишь с одним другим элементом y, что может быть не верно для некоторых отношений.

Такие однозначные операции проще рассматривать как частный случай отношений, например с параметром "1 – однозначность": xR₁y.

[Серый]

Что плохого думать в том, что Париж это столица Франции и в то же время не столица Франции?

Это хорошо так думать, ведь никогда нет однозначности. Не всегда была Франция, и не всегда центром принятия решений во Франции был Париж. Да и сейчас, для Франции, как члена Евросоюза и других организаций, многие решения принимаются не в Париже. Да и Париж не сводится к функции столицы.

И так - чего не коснись. Парадоксы — это нормально и приемлимо.

Нет. Парадоксы это зло. Случай со столицей Франции просто ошибка формализации, а не парадокс.

[злой]

Что плохого думать в том, что Париж это столица Франции и в то же время не столица Франции?

Это хорошо так думать, ведь никогда нет однозначности. Не всегда была Франция, и не всегда центром принятия решений во Франции был Париж. Да и сейчас, для Франции, как члена Евросоюза и других организаций, многие решения принимаются не в Париже. Да и Париж не сводится к функции столицы.

И так - чего не коснись. Парадоксы — это нормально и приемлимо.

Противоречие есть критерий истины, отсутствие противоречия — критерий заблуждения.

— Гегель Г.В.Ф. Работы разных лет, т. 1. Москва, 1970, с. 265.

[Rusiok]

есть такой раздел математики как мереология.

Спасибо за ссылку. С интересом читаю.

[Agnius]

А че никто мою задачку решить не хочет 

[Andrey Lukyanov]

А че никто мою задачку решить не хочет 

Кто знает, тому неинтересно.

А кому интересно, тот не знает.

[Agnius]

Кто знает, тому неинтересно.

А кому интересно, тот не знает.

Это уж точно 

[Andrey Lukyanov]

Вот вам задачка по теории множеств - верно ли, что в пустой коробке конфет каждая конфета шоколадная? 

«Каждая конфета шоколадная» равносильно «неверно, что есть хотя бы одна не-шоколадная конфета».

[Bhudh]

«неверно, что есть хотя бы одна не-шоколадная конфета»

И вроде бы формально это утверждение верно, так как у нас нет "хотя бы одной" конфеты, но как нам определить, что все оставшиеся отсутствующие конфеты — именно шоколадные⁈
Ведь любое такое доказательство будет равномощным для случаев, если мы на место шоколадных подставим карамельки, «Птичье молоко» и даже монпансье.

[Agnius]

И вроде бы формально это утверждение верно, так как у нас нет "хотя бы одной" конфеты, но как нам определить, что все оставшиеся отсутствующие конфеты — именно шоколадные⁈

А они не только шоколадные
 

Ведь любое такое доказательство будет равномощным для случаев, если мы на место шоколадных подставим карамельки, «Птичье молоко» и даже монпансье.

Верно, тут нет противоречия